ABCDE düzgün beşgen.BE ve BD köşegen,x kaç birimdir?

Question

Comments

ABF açısı 18 derece,, A açısı 108 derece,  |BD|=|BE|,  

Düzgün beşgenin bir kenarı a ise,

$|BD|=2 \sqrt{a^2-1}$

Answer 1

Düzgün beşgenin bir kenar uzunluğu $a$ olsun. $BCK$ üçgeninde  $sin36=\frac{1}{a}\rightarrow a=sin36=\frac{\sqrt5-1}{4}=\frac{4}{\sqrt5-1}=\sqrt5 +1...............(1)$

$ABE$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|BE|^2=a^2+a^2-2a^2cos108\Rightarrow $  $=2a^2(1+cos72)=2a^2(1+2cos^236-1)=4a^2(\frac{\sqrt 5+1}{4})^2=\frac{3+\sqrt 5}{2}.a^2$

O halde $|BE|=\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}a=\frac {\sqrt 5+1}{2}.a..........(2)$ Bu eşitlikte $(1)$ kullanılırsa $|BE|=\frac {\sqrt 5+1}{2}.(\sqrt5 +1)=3+\sqrt 5..................(3)$   $ABF$ üçgeninde $|AF|=y$ ise  iç açıortay teoreminden : $\frac{\sqrt5+1}{3+\sqrt5}=\frac{y}{\sqrt5+1-y}\Rightarrow  y=\frac{3+\sqrt 5}{2+\sqrt 5}$  ve $|FE|=\sqrt5+1-y=2$ olarak bulunur.  İç açıortay uzunluğu :$x^2=(\sqrt5+1)(3+\sqrt5)-2.\frac{3+\sqrt 5}{2+\sqrt 5}=\frac{14\sqrt5+30}{2+\sqrt5}=10-2\sqrt5\Rightarrow x=\sqrt{10-2\sqrt5}$olacaktır. 

Comments

Hocam hakkınızı helal edin baya bi uğraşmıssınız sağ olun.

---

Evet uğraştım. Ama uğraşmadan da bir şey olmuyor. Başarılar dilerim.