$a,b,c$ uc farkli tam sayi ve $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$

Question

$a,b,c$ uc farkli tam sayi olmak uzere. $P$ katsayilari tam sayi olan bir polinom oyle ki $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$. Bu sarti saglayan tum polinomlar nelerdir?

Comments

Biraz uğraştım, a=b=c koşulunda bir polinom oluyor. Siz çözebildiniz mi?

---

$a=b=c$ demek sadece $P(a)=a$ demek ki, bu kosulda sonsuz tane polinom olur. Ornegin: $(x-a)^n+a$..

Cevabi: boyle bir polinom yok..

---

$P^{3k}(a)=a,P^{3k}(b)=b,P^{3k}(c)=c$ eşitliklerinden bi şeyler çıkacak gibi.

---

$P^{3k}(x)-x$ incelemeye acilabilir bu sonucla.

---

Sabit bir polinom değil de katsayıları $a,b,c$ cinsinden yazılan değişken bir polinom olabilir. Yani $a,b,c$ için herhangi bir şart belirtilmiyor. Örneğin polinomun grafiğini hayal etmeye çalışırsak $(a,b),(b,c),(c,a)$ noktalarından geçen bir parabol oluştuğunu görürüz. Ama $a$ yerine farklı bir $a'$ sayısı koyarsak parabolümüz birden bambaşka bir hal alır.

---

@ahmetkbsk: tersinden bahsedebilmek icin, bir noktada degil, her noktada olmasi gerekmez mi?

Answer 1

Aşağıdaki önerme sorunun cevabını veriyor.

  Önerme : $P$ katsayıları tam sayılar  olan bir polinom; $a$, $b$, $c$ tamsayılar ve $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$ olsun.
O zaman  $a=b=c$ dir.
Not : Bu önerme yanılmıyorsam bir matematik yarışmasında sorulmuştu. Fakat şimdi nerede ve ne zaman olduğunu hatırlamıyorum.

O halde  Sercan'ın sorusunda $a,b,c$ nin üç farklı tam sayı olması istendiğine göre  $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$ koşulunu sağlayan
tam katsayılı bir polinom bulunamaz.

  Önermenin kanıtı  : Öncelikle $P(a)=b$ ve $P(b)=c$ olduğundan

$$P(a)-P(b)=b-c$$
olur. $P$ katsayıları  tam sayılar olan bir polinom olduğundan $m$ bir tam sayı olmak üzere $P(a)-P(b)=\left( a-b\right) m$ şeklindedir. O halde
$$\left( a-b\right) m=b-c$$
dir.  Benzer şekilde $P(c)-P(a)=a-b$ ve $P(b)-P\left( c\right) =c-a$ olduğundan bir takım $r$ ve $s$ tam sayıları için
$\left(c-a\right) r=a-b$ ve $\left( b-c\right) s=c-a$. O halde 
$$\left( a-b\right) msr=\left( b-c\right) sr=\left( c-a\right) r=a-b$$
$a\neq b$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $msr=1$ olur. O halde $m=\pm1$, $s=\pm 1$, ve $r=\pm 1$ dir. $\left( c-a\right) r=a-b\neq 0$ olduğundan
$c-a\neq 0$ dır. $s=-1$ olsaydı, $\left( b-c\right) s=a-b$ eşitliğinden dolayı $c=a$ elde edilirdi. O halde $s=1$ dir. $m=-1$
olsaydı, $\left( a-b\right) m=b-c$ eşitliğinden dolayı $c=a$ elde edilirdi. O halde $m=1$ dir.  $msr=1$ olduğundan $r=1$ elde edilir.
Böylece
$$a-b=b-c=c-a$$
Kolayca çözülebileceği gibi bu denklemin yegane çözümü  $a=b=c$ dir.  Bu ise $a\neq b$  varsayamımız ile çelişir. O halde $a=b$ dir.
Tamamen benzer şekilde $b\neq c$ varsayacak olursak gene bir çelişki elde ederiz. O halde $b=c$ dir.