Aşağıdaki önerme sorunun cevabını veriyor.
Önerme : P katsayıları tam sayılar olan bir polinom; a, b, c tamsayılar ve P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a olsun.
O zaman a=b=c dir.
Not : Bu önerme yanılmıyorsam bir matematik yarışmasında sorulmuştu. Fakat şimdi nerede ve ne zaman olduğunu hatırlamıyorum.
O halde Sercan'ın sorusunda a,b,c nin üç farklı tam sayı olması istendiğine göre P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a koşulunu sağlayan
tam katsayılı bir polinom bulunamaz.
Önermenin kanıtı : Öncelikle P(a)=b ve P(b)=c olduğundan
P(a)−P(b)=b−c
olur. P katsayıları tam sayılar olan bir polinom olduğundan m bir tam sayı olmak üzere P(a)−P(b)=(a−b)m şeklindedir. O halde
(a−b)m=b−c
dir. Benzer şekilde P(c)−P(a)=a−b ve P(b)−P(c)=c−a olduğundan bir takım r ve s tam sayıları için
(c−a)r=a−b ve (b−c)s=c−a. O halde
(a−b)msr=(b−c)sr=(c−a)r=a−b
a≠b olduğunu varsayalım. Bu durumda msr=1 olur. O halde m=±1, s=±1, ve r=±1 dir. (c−a)r=a−b≠0 olduğundan
c−a≠0 dır. s=−1 olsaydı, (b−c)s=a−b eşitliğinden dolayı c=a elde edilirdi. O halde s=1 dir. m=−1
olsaydı, (a−b)m=b−c eşitliğinden dolayı c=a elde edilirdi. O halde m=1 dir. msr=1 olduğundan r=1 elde edilir.
Böylece
a−b=b−c=c−a
Kolayca çözülebileceği gibi bu denklemin yegane çözümü a=b=c dir. Bu ise a≠b varsayamımız ile çelişir. O halde a=b dir.
Tamamen benzer şekilde b≠c varsayacak olursak gene bir çelişki elde ederiz. O halde b=c dir.