Aşağıdaki önerme sorunun cevabını veriyor.
Önerme : $P$ katsayıları tam sayılar olan bir polinom; $a$, $b$, $c$ tamsayılar ve $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$ olsun.
O zaman $a=b=c$ dir.
Not : Bu önerme yanılmıyorsam bir matematik yarışmasında sorulmuştu. Fakat şimdi nerede ve ne zaman olduğunu hatırlamıyorum.
O halde Sercan'ın sorusunda $a,b,c$ nin üç farklı tam sayı olması istendiğine göre $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$ koşulunu sağlayan
tam katsayılı bir polinom bulunamaz.
Önermenin kanıtı : Öncelikle $P(a)=b$ ve $P(b)=c$ olduğundan
\[
P(a)-P(b)=b-c
\]
olur. $P$ katsayıları tam sayılar olan bir polinom olduğundan $m$ bir tam sayı olmak üzere $P(a)-P(b)=\left( a-b\right) m$ şeklindedir. O halde
\[
\left( a-b\right) m=b-c
\]
dir. Benzer şekilde $P(c)-P(a)=a-b$ ve $P(b)-P\left( c\right) =c-a$ olduğundan bir takım $r$ ve $s$ tam sayıları için
$\left(c-a\right) r=a-b$ ve $\left( b-c\right) s=c-a$. O halde
\[
\left( a-b\right) msr=\left( b-c\right) sr=\left( c-a\right) r=a-b
\]
$a\neq b$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $msr=1$ olur. O halde $m=\pm1$, $s=\pm 1$, ve $r=\pm 1$ dir. $\left( c-a\right) r=a-b\neq 0$ olduğundan
$c-a\neq 0$ dır. $s=-1$ olsaydı, $\left( b-c\right) s=a-b$ eşitliğinden dolayı $c=a$ elde edilirdi. O halde $s=1$ dir. $m=-1$
olsaydı, $\left( a-b\right) m=b-c$ eşitliğinden dolayı $c=a$ elde edilirdi. O halde $m=1$ dir. $msr=1$ olduğundan $r=1$ elde edilir.
Böylece
\[
a-b=b-c=c-a
\]
Kolayca çözülebileceği gibi bu denklemin yegane çözümü $a=b=c$ dir. Bu ise $a\neq b$ varsayamımız ile çelişir. O halde $a=b$ dir.
Tamamen benzer şekilde $b\neq c$ varsayacak olursak gene bir çelişki elde ederiz. O halde $b=c$ dir.