Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

a,b,c uc farkli tam sayi olmak uzere. P katsayilari tam sayi olan bir polinom oyle ki P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a. Bu sarti saglayan tum polinomlar nelerdir?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.5k puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

Biraz uğraştım, a=b=c koşulunda bir polinom oluyor. Siz çözebildiniz mi?

a=b=c demek sadece P(a)=a demek ki, bu kosulda sonsuz tane polinom olur. Ornegin: (xa)n+a..

Cevabi: boyle bir polinom yok..

P3k(a)=a,P3k(b)=b,P3k(c)=c eşitliklerinden bi şeyler çıkacak gibi.

P3k(x)x incelemeye acilabilir bu sonucla.

Sabit bir polinom değil de katsayıları a,b,c cinsinden yazılan değişken bir polinom olabilir. Yani a,b,c için herhangi bir şart belirtilmiyor. Örneğin polinomun grafiğini hayal etmeye çalışırsak (a,b),(b,c),(c,a) noktalarından geçen bir parabol oluştuğunu görürüz. Ama a yerine farklı bir a sayısı koyarsak parabolümüz birden bambaşka bir hal alır.

@ahmetkbsk: tersinden bahsedebilmek icin, bir noktada degil, her noktada olmasi gerekmez mi?

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap


Aşağıdaki önerme sorunun cevabını veriyor.

  Önerme : P katsayıları tam sayılar  olan bir polinom; a, b, c tamsayılar ve P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a olsun.
O zaman  a=b=c dir.
Not : Bu önerme yanılmıyorsam bir matematik yarışmasında sorulmuştu. Fakat şimdi nerede ve ne zaman olduğunu hatırlamıyorum.

O halde  Sercan'ın sorusunda a,b,c nin üç farklı tam sayı olması istendiğine göre  P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a koşulunu sağlayan
tam katsayılı bir polinom bulunamaz.

  Önermenin kanıtı  : Öncelikle P(a)=b ve P(b)=c olduğundan
P(a)P(b)=bc
olur. P katsayıları  tam sayılar olan bir polinom olduğundan m bir tam sayı olmak üzere P(a)P(b)=(ab)m şeklindedir. O halde
(ab)m=bc
dir.  Benzer şekilde P(c)P(a)=ab ve P(b)P(c)=ca olduğundan bir takım r ve s tam sayıları için
(ca)r=ab ve (bc)s=ca. O halde 
(ab)msr=(bc)sr=(ca)r=ab
ab olduğunu varsayalım. Bu durumda msr=1 olur. O halde m=±1, s=±1, ve r=±1 dir. (ca)r=ab0 olduğundan
ca0 dır. s=1 olsaydı, (bc)s=ab eşitliğinden dolayı c=a elde edilirdi. O halde s=1 dir. m=1
olsaydı, (ab)m=bc eşitliğinden dolayı c=a elde edilirdi. O halde m=1 dir.  msr=1 olduğundan r=1 elde edilir.
Böylece
ab=bc=ca
Kolayca çözülebileceği gibi bu denklemin yegane çözümü  a=b=c dir.  Bu ise ab  varsayamımız ile çelişir. O halde a=b dir.
Tamamen benzer şekilde bc varsayacak olursak gene bir çelişki elde ederiz. O halde b=c dir.

(541 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,729,430 kullanıcı