$||f||_p=\text{sup}\int_X fg\ d\mu$ eşitliği

Question

Diyelim ki $f$, $X$ üzerinde gerçel değerli (real valued) ölçülebilir (measurable) bir fonksiyon ve  $1<p,q<\infty$ olsun, ayrıca $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ eşitliği de sağlansın. Bu durumda, $$||f||_p=\text{sup}\int_X fg\ d\mu$$ eşitliğinin sağlandığını gösterin. Buradaki supremum öyle gerçel değerli $g$ fonksiyonları üzerinden alınıyor ki, 

• $||g||_q\leq 1$
• $\int_X fg\ d\mu$ integrali gerçekten var.

Comments

Sağlandığını göstermekle neyi kasdediyorsunuz? Norm aksiyomlarını sağlamayı mı?

Answer 1

Holder esitsizligini biliyor oldugunu varsayiyorum. Verdigin kosullar aynen Holder esitsizliginin kosullari. Dolayisiyla $$\| fg\|_1 \leq \| f\|_p \|g\|_q$$

Eger $\|g\|_q \leq 1$ ise $\|fg\|_1 \leq \|f\|_p$ olur. O halde $$\sup_{\|g\|_q \leq 1} \|fg\|_1 \leq \|f \|_p$$ Simdi bir sekilde $\sup \int_X fg$ ile $\sup \|f g\|_1$ sayilarini karsilastirabilir misin? Bunu yaptiginda istedigin esitligin bir tarafinin cikmasi lazim.

Oteki taraf icin ise ben olsam $g$ fonksiyonunu akillica secip esitligi saglattirmaya calisirim.