$\int_0^1\left(\sqrt[5]{1-x^3}-\sqrt[3]{1-x^5}\right)\,dx$ integralini hesaplayınız.

Question

Bilgisayar programı kullanmadan!

Comments

Cevap sıfır olmalı

---

Nedeni olmadan kabul etmiyoruz :-)

---

İşin püf noktası gamma fonksiyonu olsa gerek.

---

Karmaşık şeylere hiç gerek yok. Çok daha basit bir mantığı var.

Bu çözüldükten sonra daha genel bir şeklini bir satırda ispatlayacağım.

---

İntegralin içi aranan fonksiyonun türevidir.  f ' (0) = 0 ve   f ' (1) = 0 olmaktadır.

---

İpucu: İntegralleri HESAPLAMADAN $\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=\int_0^1\sqrt[5]{1-x^3}\,dx$ olduğu gösterin.

---

İntegraller eşit olunca köklü ifadeler  de eşit olmalı  şeklinde düşünülmemesi gerekir mi acaba?

Answer 1

Rutin ve uzun çözüm:

Kısmi İntegrasyon ile:

$\displaystyle\int\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=x\sqrt[3]{1-x^5}-\int x\left( \dfrac{-5x^4}{3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}}\right)\, dx$

$t^3=1-x^5$ olsun. $3t^2\,dt=-5x^4\,dx$ olur. $3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}=3t^2,\ x=\sqrt[5]{1-t^3}$ olur ve 

$\displaystyle\int x\left( \dfrac{-5x^4}{3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}}\right)\, dx=\int \sqrt[5]{1-t^3}\,dt$ olur.

 Buradan

$\displaystyle\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=\left.x\sqrt[3]{1-x^5}\right|_0^1-\int_1^0\sqrt[5]{1-t^3}\,dt =\int_0^1\sqrt[5]{1-t^3}\,dt$ olur.

Answer 2

Güzel Çözüm:

$f(x)=\sqrt[3]{1-x^5}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)=\sqrt[5]{1-x^3}$ dir ve $f(0)=1,\ f(1)=0$ dır. 

$\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx$, $\{(x,y):0\leq x\leq1,\ 0\leq y\leq f(x)\}$ bölgesinin alanıdır. $\int_0^1\sqrt[5]{1-y^3}\,dy$, $\{(x,y): 0\leq y\leq1,\ 0\leq x\leq f^{-1}(y)\}$ bölgesinin alanıdır. 

Ama iki bölge aynıdır. ("Hipotenüsü" $y=f(x)$ eğrisi olan bir "dik üçgen")

(Bunu   genelleştirebiliriz)