Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
840 kez görüntülendi

Bilgisayar programı kullanmadan!

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 840 kez görüntülendi

Cevap sıfır olmalı

Nedeni olmadan kabul etmiyoruz :-)

İşin püf noktası gamma fonksiyonu olsa gerek.

Karmaşık şeylere hiç gerek yok. Çok daha basit bir mantığı var.

Bu çözüldükten sonra daha genel bir şeklini bir satırda ispatlayacağım.

İntegralin içi aranan fonksiyonun türevidir.  f ' (0) = 0 ve   f ' (1) = 0 olmaktadır.

İpucu: İntegralleri HESAPLAMADAN $\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=\int_0^1\sqrt[5]{1-x^3}\,dx$ olduğu gösterin.

İntegraller eşit olunca köklü ifadeler  de eşit olmalı  şeklinde düşünülmemesi gerekir mi acaba?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Rutin ve uzun çözüm:

Kısmi İntegrasyon ile:

$\displaystyle\int\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=x\sqrt[3]{1-x^5}-\int x\left( \dfrac{-5x^4}{3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}}\right)\, dx$

$t^3=1-x^5$ olsun. $3t^2\,dt=-5x^4\,dx$ olur. $3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}=3t^2,\ x=\sqrt[5]{1-t^3}$ olur ve 


$\displaystyle\int x\left( \dfrac{-5x^4}{3\sqrt[3]{(1-x^5)^2}}\right)\, dx=\int \sqrt[5]{1-t^3}\,dt   $ olur.

 Buradan

$ \displaystyle\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx=\left.x\sqrt[3]{1-x^5}\right|_0^1-\int_1^0\sqrt[5]{1-t^3}\,dt =\int_0^1\sqrt[5]{1-t^3}\,dt $ olur.

(6.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Güzel Çözüm:

$f(x)=\sqrt[3]{1-x^5}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)=\sqrt[5]{1-x^3}$ dir ve $f(0)=1,\ f(1)=0$ dır. 

$\int_0^1\sqrt[3]{1-x^5}\,dx$, $\{(x,y):0\leq x\leq1,\ 0\leq y\leq f(x)\}$ bölgesinin alanıdır. $\int_0^1\sqrt[5]{1-y^3}\,dy$, $\{(x,y): 0\leq y\leq1,\ 0\leq x\leq f^{-1}(y)\}$ bölgesinin alanıdır. 

Ama iki bölge aynıdır. ("Hipotenüsü" $y=f(x)$ eğrisi olan bir "dik üçgen")

(Bunu   genelleştirebiliriz)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Bir fonksiyonun ve tersinin integrallerinin eşit olduğu bir durum.
20,235 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,043,734 kullanıcı