Bu problemin özgün şekli şöyle ifade edilebilir. Sırasıyla, $3$, $5$ ve $8$ litre süt ölçebilen üç kabımız var. Bu kaplar sırasıyla $A$, $B$ ve $C$ diyelim.
Başlangıçta $A$ ve $B$ boş, $C$ ise $8$ litre süt ile doludur. Biri
gelip $1$ ile $8$ litre arasında süt isteseydi, sadece bu kapları
kullanarak, kapların birinden diğerine taşırmadan süt boşaltarak istenilen miktarı tartabilir miydik? Burada kapların birinden diğerine süt boşaltma işlemi istenildiği kadar yapılabilir. Ayrıca $K_{1}$ kabından $K_{2}$
kabına bir aktarma yapılıyorsa; eğer alabiliryorsa $K_{2}$' ye $K_{1}$'in tamamını aksi
halde $K_{1}$'den $K_{2}$' ye $K_{2}$' nin tam dolu olarak alabileceği
kadar süt aktarılacaktır. Bunun yapılabileceğini görmek için sembolik bir yazım kullanalım.
\[\left( K_{1},K_{2}\right) \left( r_{1},r_{2},r_{3}\right) \]
ile $K_{1}$ kabından $K_{2}$ kabına $K_{2}$'nin alabileceği kadar süt boşalttığımızı sembolik olarak gösterelim. Ayni
zamanda bu sembol bu işlem sonunda $A$ da $r_{1}$ litre, $B$ de $r_{2}$
litre ve $C$ de $r_{3}$ litre süt oluşturduğumuz anlamına
gelsin. Başlangıçta sembol
\[\left( -,-\right) \left( 0,0,8\right) \]
dir. Bunu nedeni henüz kaplarla hiç işlem yapmadık , $A$ boş, $B$ boş ve $C$ de $8$ litre süt vardır. İşte başlıyoruz.
$\left( -,-\right) \left( 0,0,8\right) $
$\left( C,A\right) $ $\left( 3,0,5\right) $
$\left( A,B\right) $ $\left( 0,3,5\right) $
$\left( C,A\right) $ $\left( 3,3,2\right) $ ------------- O halde $2$ ve $6$ litreyi tartabiliriz.
$\left( A.B\right) $ $\left( 1,5,2\right) $ ------------- O halde $1$ litreyi tartabiliriz.
$\left( B,C\right) $ $\left( 1,0,7\right) $ ------------- O halde $1$ ve $7$ litreyi tartabiliriz.
$\left( A,B\right) $ $\left( 0,1,7\right) $
$\left( C,A\right) $ $\left( 3,1,4\right) $ ------------- O halde $4$ itreyi tartabilirim.
Geriye bir şey kalmadı. Burada sihirli olan şey $3$,$5$,$8$ değildir. $a$ ve $b$ herhangi pozitif tamsayılar ve $a$, $b$ nin en büyük ortak böleni $1$ olsun. Başlangıçta kaplar sırasıyla $a$,$b$ ve $a+b$ litre süt içeriyorsa $1$ den $a+b$ ye kadar her litreyi tartabiliriz. Neden? Bunu nedeni Bezout teoremidir.. $a$ ve $b$ herhangi pozitif tamsayılar $\left( a,b\right) =1$ ise öyle pozitif $x$ ve $y$ tam sayıları vardır ki $ax-by=1$ dir. O halde $x$ kere $C$ den $A$ ya, $A$ doldukça $A$ daki sütü $B$ ye ve $B$ doldukça $B$ dekileri $C$ ye aktarırsak sonunda $A$ da $1$ litre elde ederiz.