Bir Yerden Sonra Ayni Olan Seyler

Question

$X$ bir kume ya da sinif ya da bir kategori olsun. Ne oldugu onemli degil. Bunun icinde yer alan her elemana bir dogal sayi dizisi atayabiliyor olabilelim. $X$'in elemanlari uzerinde oyle bir (dogal, bu dizi seciminden bagimsiz) denklik bulabilir miyim ki iki elemanin denk olmasi icin gerek ve yeter kosul bu iki elemana atadigimiz dizilerin bir yerden sonra ayni olmasi olsun? Ya da obur turlu. Diyelim elimde bir denklik var. $X$'in her elemanina oyle bir (dogal) dizi atayabilir miyim ki iki elemanin denk olmasi icin gerek ve yeter kosul bu iki elemana atadigimiz dizilerin bir yerden sonra ayni olmasi olsun?

Ornek: $X$ butun Penrose dosemelerinin uzayi olsun. Wiki sayfasinda yok ama her Penrose dosemesine sadece $1$'ler ve $0$'lardan olusan bir dizi atayabiliyoruz. Bu dizinin nasil insa edildigini anlatmayacagim, bilmek cok gerekli degil. Ama guzellik surada: $A$ ve $B$ iki Penrose dosemesi olsun. $A$'nin dizisi ve $B$'nin dizisi bir yerden sonra ayni olur (baska bir deyisle sonlu sayida eleman disinda aynidir) ancak ve ancak duzlemde $A$'yi $B$'ye tasiyan bir izometri varsa.

Soru: Bu fenomenin gerceklestigi baska yerler biliyor musunuz? Topoloji olur, geometri olur, kombinatorik olur, fizik olur, biyoloji olur, her sey olur. 

Sorum bu. Bir seyler var. Bu seylerden diziler insa ediyoruz bir sekilde. Bu dizilerin bir yerlerden sonra ayni olmasi ile baska bir (tercihen simetrik, gecisli, yansiyan) iliskinin gerceklesmesinin denk oldugunu goruyoruz. Bunlara ornek ariyorum.

Simdi neden sordugumu kisaca anlatiyim, motivasyonumu merak ediyorsaniz. Ama sordugum soruyu cevaplamak icin gerekli degil bu bilgiler.

Arkaplan: 

$k$ cebirsel kapali bir cisim (mesela $\mathbb{C}$) olsun. $S = k[x_0, \ldots, x_n]$ polinom halkasi ve $I$, $S$'nin homojen bir ideali olsun. $R = S /I$ olsun. $X$ de $Proj S$'nin $I$'ya karsilik gelen altsemasi (subscheme) olsun. 

$R$ dereceli bir halka. Cunku bir baska dereceli halkanin, homojen bir ideale bolumune esit. Yani $R$'yi $R = \oplus_{i \in \mathbb{N}} R_i$ seklinde yazabilirim oyle ki $R_iR_j \subseteq R_{i+j}$ olur.  ($S$'nin neden dereceli oldugunu surada bir yerde soylemistim). $M$ bir $R$-modul olsun. $M$'ye dereceli $R$-modul diyoruz eger $M$'yi $R_i M_j \subseteq M_{i+j}$ olacak sekilde $M = \oplus_{i \in \mathbb{N}} M_i$ seklinde yazabiliyorsak (ingilizcesi graded module.). Bunlar arasindaki morfizmalar dereceye saygi gosteren, derecenin varligindan haberi olan modul homomorfizmalari. Dereceli $R$-modullerin kategorisini $Gr R$ olarak gosterecegim. Sonlu uretilmis dereceli $R$-modullerden olusan full altkategoriyi de $grR$ ile gosterecegim. 

$R_{\geq s}$ ile $\oplus_{i = s}^{\infty} R_i$ althalkasini gosterecegim. $m \in M$'e torsiyon (burkulmus) diyecegim eger bir $s$ icin $R_{\geq s} m = 0$ ise. Bir $M$ module torsiyon diyecegim eger butun elemanlari torsiyon ise. $TorsR$ ile $GrA$'nin torsiyon modullerden olusan full altkategorisini, $torsA$ ile $grA$'nin torsiyon modullerden olusan altkategorisini gosterecegim.

$TorsA$ ($torsA$), $GrA$'nin ($grA$'nin) guzel bir altkategorisi: Serre altkategorisi ya da yerellestirme altkategorisi (localizing subcategory). Bu da bize bir "bolum kategorisi" olusturma firsati veriyor. Bu teknik bir insa, detaya girmeye gerek yok. Bolum kategorisinde objeler ayni ama daha fazla izomorfizma var. Bu bolum kategorisine $QgrR$ ($qgrR$) diyecegim. Bolum kategorisinde iki dereceli modul $M$ ve $N$'nin birbirine izomorfik olmasi icin gerek ve yeter kosul bir yerden sonra $M_i \cong N_i$ olmasi ($\exists N : \forall i > N, M_i = N_i$). (ekleme: En azindan $qgr$ icin )

Serre, Fascieux Algebrique Coherentes adli saheserinin son bolumunde sunu kanitliyor: $$QgrR \equiv Qcoh X$$ ve $$qgrR \equiv cohX$$

Yani, $X$'in uzerindeki coherent balyalari anlamak icin $qgrR$ kategorisini calisabiliriz.

Bu fikir 90'larda aliniyor ve genellestiriliyor. Polinom halkasinin bolum halkalarinin yerini (degismesiz) birimli birlesmeli $k$-cebirleri aliyor. $Qgr$ ve $qgr$ kategorileri ayni sekilde (sag/sol modul ayrimi yapilarak) insa ediliyor. Halka degismesiz oldugunda klasik cebirsel geometrik bir uzay yok tabii ki buna karsilik gelen. 

Ama sanirim biraz da Grothendieck'in felsefesinden yola cikilarak geometrik uzaya gerek yok, uzerindeki (quasi-)coherent balyalari bilsek yeter, deniyor. Ve $qgr$ "hayali" bir uzay olarak ele aliniyor. Ve bu yontemin baya ise yaradigi ortaya cikiyor zamanla. Ozellikle degismesiz cebirlerin kendini gosterdigi modern fizikte. Degismesiz projektif cebirsel geometri icin guzel bir kaynak Paul Smith'in ders notlari (son chapter).

Penrose dosemeleri? Penrose dosemelerinin sadece $1$ ve $0$'lardan olusan dizileri ile $S = k\langle x,  y \rangle / (y^2)$ degismesiz cebirinden insa edilen $qgrS$'in arasinda bir iliski var. Bu iliski de Penrose dosemeleri uzayini degismesiz bir uzay/sema olarak gormemize olanak sagliyor. (Daha fazla bilgi icin: http://arxiv.org/abs/1104.3811) Alain Connes'un meshur Noncommutative Geometry kitabinda yazdigi gibi, Penrose dosemeleri degismesiz uzaylara cok guzel bir ornek. Cunku klasik yontemlerle bu kume uzerinde hicbir sekilde guzel bir uzay yapisi kuramiyorsunuz.

Benim motivasyonum da su: acaba oralarda bir yerde boyle degismesiz bir uzay var mi gozumuzden kacan, lisansta bir yerde ogrenilen? Daha cok ornek = daha cok bilgi.

Paul Smith'in bu konu hakkinda verdigi bir saatlik bir konusma var YouTube'da: https://youtu.be/fo7y4dvtACs

Arz ederim.

Ekleme: (Quasi-)Coherent'i Turkce'ye nasil ceviriyoruz? tmdsozluk'te karsiligini bulamadim.

Comments

Ben bir degismesiz uzayi(yi)m gulhane parkinda, ne sen bunun farkindasin ne de polis farkinda.

Answer 1

"Sınıflandırma problemlerinin (classification problems) ne kadar zor olduğunu matematiksel olarak ölçmek mümkün müdür?"

Son otuz yılda betimsel kümeler kuramının (descriptive set theory) teknikleriyle bu soruya pozitif yanıt vermenin mümkün olduğu anlaşıldı. Matematikteki sınıflandırma problemleri çoğu zaman bir standart Borel uzayı üzerindeki tanımlanabilir denklik bağıntıları olarak ifade edilebiliyor. (Standart Borel uzayı demek şu demek: Bir ayrılabilir tam metrik uzay alın, daha sonra bu uzayı üzerindeki metriği ve topolojiyi "unutarak" sadece ilgili Borel $\sigma$-cebiri yapısıyla göz önüne alın.)

Örnek vereyim. Diyelim ki sayılabilir çizgelerin sınıflandırma problemini incelemek istiyorsunuz. Genelliği bozmadan varsayabiliriz ki her sayılabilir çizge $(\mathbb{N},E)$ formundadır. Burada $E \subseteq \mathbb{N}^2$ rastgele bir simetrik ve "irreflexive" bağıntı. Bu durumda $\mathcal{P}(\mathbb{N}^2)$ kümesini $2^{\mathbb{N}^2}$ özdeşleştirirsek, sayılabilir çizgelerin standart Borel uzayı olarak $2^{\mathbb{N}^2}$ uzayının bir alt uzayı olarak alabiliriz. Bu uzayın her elemanı bir sayılabilir çizge kodlar ve her sayılabilir çizge bu uzayın bir elemanıyla kodlanabilir. Sayılabilir çizgeler üzerindeki eşyapısallık bağıntısı $\sim \subseteq 2^{\mathbb{N}^2} \times 2^{\mathbb{N}^2}$ da çarpım uzayının analitik bir alt kümesi olur. (Analitik küme demek bir boyut üstte yaşayan Borel bir kümenin izdüşümü demek.)

Bunu pek çok kategori için yapmak mümkün. Sayılabilir grupların, cisimlerin, doğrusal sıralamaların (genel olarak bağıntısal sayılabilir bir dille ifade edilebilen sayılabilir yapıların) uzayları, Cantor uzayının homeomorfizmlerinin uzayı, AF-cebirlerin uzayı vs.

Bunu yaptıktan sonra sınıflandırma problemlerinin değişmezlerini (invariant) ilgili uzaylardaki denklik sınıfları kümeleri olarak görebiliriz ve sınıflandırma problemlerinin göreli karmaşıklıklarını Borel indirgenebilirlik (Borel reducibility) altında kıyaslamak mümkün. Borel indirgenebilirliğin tanımını yapayım:

$E \subseteq X^2$ ve $F \subseteq Y^2$ standart Borel uzayları $X$ ve $Y$ üzerinde analitik iki denklik bağıntısı olsun. (Yani çarpım Borel yapısına göre $X^2$ ve $Y^2$'nin analitik alt kümeleri.) Bu durumda $E$ denklik bağıntısı, $F$ denklik bağıntısına Borel indirgenebilirdir diyoruz ancak ve ancak öyle bir Borel $f: X \rightarrow Y$ fonksiyonu varsa ki $x E y \Leftrightarrow f(x) F f(y)$ oluyorsa. Bu durumda da $E \leq_B F$ yazıyoruz. Eğer $E \leq_B F$ ve $F \leq_B E$ ise bu durumda $E \sim_B F$ yazıyoruz ve $E$ ile $F$ karşılıklı Borel indirgenebilir (Borel bireducible) diyoruz. $E \leq_B F$ ve $F \nleq_B E$ ise de $E <_B F$ yazıyoruz.

Bunun sezgisel olarak anlamı şu: Eğer elimizde iki objenin $F$-denk olup olmadığını söyleyen bir kahin olsaydı, bu kahini ve $f$ fonksiyonunu kullanarak iki objenin $E$-denk olup olmadığına karar verebilirdik. Bu durumda $E$'nin kodladığı sınıflandırma probleminin karmaşıklığının $F$'nin kodladığı sınıflandırma probleminin karmaşıklığından küçük eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Burada $f$ fonksiyonunun Borel olmasını istiyoruz çünkü Borel kümeleri açıkça ifade edilebilir (explicit) fonksiyonlar gibi düşünüyoruz. Aksi halde, eğer Borel olma koşulunu koymazsak, seçim belitini kullanarak denklik sınıfı sayısı aynı her bağıntıyı birbirine indirgeyebilirdik ama seçim beliti bize büyük ihtimalle "patolojik" kümeler üretirdi.

Örnek verelim: Değişmeli sonlu üretilebilir grupların eşyapısallık bağıntısı $\Delta_{{\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}}$ bağıntısına indirgenebilir. (Aslında bu bağıntı $\Delta_{\mathbb{N}}$ ile karşılıklı indirgenebilirdir.) Zira sınıflandırma teoremini kullanarak her grubun direkt toplamı olduğu döngüsel grupların ilgili datasını doğal sayı dizileri olarak kodlayabiliriz. Mesela grubunuz $\mathbb{Z}^5 \bigoplus \mathbb{Z}_{2^3} \bigoplus \mathbb{Z}_{5^1}$ ile eşyapısal ise grubu $(5,3,0,1,0,0,)$ dizisine götürelim vs.

Yazıyı çok uzatmamak için örnekleri şimdilik kesip sorduğunuz sorunun cevabına geçeyim:

Baire uzayı $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ üzerinde $x E_0 y \Leftrightarrow \exists n\ \forall m\geq n \ x_m=y_m$ denklik bağıntısını tanımlayalım. (Normalde $E_0$ Cantor uzayı üzerinde tanımlanır ama bu bağıntılar birbiriyle karşılıklı indirgenebilirdir.)

Bu denklik bağıntısının Borel olduğunu kanıtlamak zor değil. Ayrıca $\Delta_{\mathbb{R}} \leq_B E_0$ olduğu da kolayca kanıtlanabilir. (Öte yandan $\Delta_{\mathbb{R}} <_B E_0$ olduğu biraz daha uğraş isteyen bir şey.) Harrington-Kechris-Louveau'nun hiç de aşikar olmayan bir teoremi şunu söyler:

Her Borel denklik bağıntısı $E$ için ya $E \leq_B \Delta_{\mathbb{R}}$ olur ya da $E_0 \leq_B E$ olur. Yani $\leq_B$-hiyerarşisinde $E_0$ bağıntısı $\Delta_{\mathbb{R}}$'nin (ya da herhangi bir standart Borel uzayı $X$ için $\Delta_X$'in) ardılı.

Sizin aradığınız şey anladığım kadarıyla $E \leq_B E_0$ olan denklik bağıntıları. Bunun örnekleri: Torsion eleman barındırmayan 1-dereceli değişmeli grupların (torsion-free abelian group of rank 1) eşyapısallık bağıntısı (ki bu bağıntı $E_0$ ile karşılıklı indirgenebilir), sayılabilir bölünebilir (countable divisible) grupların eşyapısallık bağıntısı (ki bu bağıntı aslında $\Delta_{\mathbb{R}}$ ile karşılıklı indirgenebilir) vs.

Sizin aradığınız şeye örnek olmayan, yani $E_0 <_B E$ olan denklik bağıntıları: $n \geq 2$ için torsion eleman barındırmayan n-dereceli değişmeli grupların eşyapısallık bağıntısı, sonlu üretilebilir grupların eşyapısallık bağıntısı (bu iki sonuç da Simon Thomas'ın önemli sonuçları), sayılabilir grupların, çizgelerin, doğrusal sıralamaların eşyapısallık bağıntıları (bunlar da Friedman ve Stanley'in sonuçları), Cantor uzayının homeomorfizmalarının eşleniklik ilişkisi (Gao ve Camerlo'nun bir sonucu) vs.

Bunlar aşikar teoremler değil. O yüzden bunları kanıtlamak yerine konuya giriş niteliğinde bir referans verip bu uzun cevabı noktalayım:

http://www.math.cmu.edu/~eschimme/Appalachian/ThomasNotes.pdf (Simon Thomas'ın güzel hazırlanmış bir workshop'tan notları.)

Bu konunun ana kitaplarından biri olan Invariant Descriptive Set Theory içerisinde pek çok sınıflandırma probleminin bu açıdan incelendiğini görebilirsiniz.

Comments

Tesekkurler. 

Benim istedigim bu fenomenin gozuktugu baska yerler gormekti. Betimsel kumeler kurami baglaminda (analitik uzaylar/ Borel yapilari vs) aradigim sey tam olarak bu ($E \leq_B E_0$ iliskisi) gibi gozukuyor. Ornekler icin tesekkur ederim. 

$n \geq 2$ torsion-free durumunun istedigim seye karsiornek olmasi hos degilmis ama yine de bunu biraz uzerinden okumaya calisabilirim. 

Duydugum kadariyla benim istedigim seye bir ornek degil, ama analitik Hausdorff bosluklari (?) (gaps) ya da bunlarin bir modifikasyonu- tam hatirlamiyorum simdi- siniflandirma perspektifinden bakildiginda nasil calisiyor biliyor musun? Cok kotu bir soru oldu. Benim orijinal sorumdan ayri olarak, bu Borel bagintilari ve bu Bosluklar hakkinda ne soylenebilir? Neyle karsilikli indirgenebilirdir vs. Mantikli bir soru mu soruyorum onu da bilmiyorum. 

Bir de iki kucuk sorum var: $\Delta$ bagintisini anlamadim. Diagonaldeki hersey bir denklik sinifina ait ve onun disinda her denklik sinifi tek bir elemanli mi?

Bir de $E_0$'in taniminda typo var degil mi?

---

$E_0$ tanımındaki typo'yu düzelttim. $\Delta_X$ demek $X$ üzerindeki birim bağıntı demek, yani $\{(x,x): x \in X\}$ bağıntısı. (Yani her nokta sadece kendisine denk.)

Analitik Hausdorff boşlukları ile ilgili sorunuzu tam anlamadım. Duyduğunuz şey ne idi ki analitik Hausdorff boşlukları ile ilgili?

---

Bu arada torsion elemanı olmayan 1-dereceli değişmeli gruplarla ilgili bahsettiğim sonuç aslında Baer'in bu gruplar için kanıtladığı sınıflandırma teoreminden çıkıyor. Şu an uygun bir referans aklıma gelmiyor ama Baer+torsion free diye aratırsanız eminim bulabilirsiniz kolayca.

---

Aha. Baer.

Analitik Hausdorff bosluklari ile ilgili sorumu duzenleyip tekrar sorayim. Tam hatirlayamiyorum, biraz ayakustu idi.