Türevv

Question

$f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) +5xy$

ve 

$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f'\left( h\right) } {h}=3$

ise

$f'\left( 1\right) =?$

Comments

Sorudaki verilen f ' (h)/h =3 mı?  yoksa f(h)/h =3 olmali gibime geliyor.

---

soruyu doğru şekilde yazdım eminim.Hocalar baktı mı acaba 

Answer 1

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f'(h)}{h}=3$ şartından $f'(0)=0$ olması gerektiği sonucunu kolayca çıkarabiliriz. Birinci şartı tekrar düzenlersek 

   $\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{f(y)}{y}+5x$  elde ederiz.

$\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(y)}{y}+5x$. Eşitliğin sol tarafı türevin limit tanımından $f'(x)=\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(y)}{y}+5x$ olur.

$x=0$  için   $f'(0)=\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(y)}{y}+5.0$ olur ve $\lim_{y\rightarrow0}\frac{f(y)}{y}=0$

sonucu çıkar. Daha sonra $x=1$  için $f'(1)=5$ bulunur.