Question

M={A∈$M_2$(R)I$A^2$=I} kümesinin $M_2$(R) de alt uzay olup olmadığını araştırınız.

Comments

Lútfen cozum icin neler yaptiginizi da icerikte belirtiniz. 

---

A matrisinin 0 a 1 1e 0 olduğunu düşünüyorum ama devamı yok (latexte matris yazamıyorum) A matrisi involutif matris.

---

Alt uzay oldugunu gostermek icin bir iki gostermemiz gereken var. Genel olarak. Bunlari uygulaman yeterli. Kimenin elemanlarini bilmeye gerek yok. Sadece bos olmadigini gostermek yeter.

---

@Sercan bir-iki degil, uc sey gostermek lazim. Bu uzay gostermemiz gereken bu uc "seyi" de saglamiyor.

@mavera Altuzay olma testindeki uc "seyi" biliyor musun?

---

Bir-iki 1+2 de olabilir. Isin sakasi madde sayisi vermek istemedim. Peki $A+B$ ve $cA$ sartlari $cA+B$ seklinde tek olarak da yazilabilir mi? Bu durumda ikiye duser. 

---

@Sercan haklisin.

---

Alt uzay olma şartları; 1bos kumeden farkli oldugunu gostrmek 2)keyfi alinanan iki elamanin toplamininin istenilen kumede oldugunu gostermk 3)bir skaler elemaninin keyfi alinan elamanlardan biriyle carpimini yine istenilen kumede oldugunu gostermek boyle degil mi alt uzay olma sartlari yanlisim varsa duzeltin;)

Answer 1

Yorumlarda soyledigin alt uzay olma sartlari kesinlikle dogru.

Simdi bunu biraz degistirmeye calisalim.

Birinci ozelligin ve ucuncu ozelligin saglandigini kabul edelim. Yani kumemizde en azindan bir vektor bulunsun, adina $v$ diyelim. Bu vektoru keyfi bir skalerle carptigim zaman yine kumenin icinde kalmam gerekiyor. Keyfi skalerimi $0$ olarak secersem eger, $0v$'nin kumenin icinde yer almasi lazim. Ama $0v = 0$ (burada ikinci sifir, sifir vektorunu gosteriyor). Dolayisiyla, birinci ve ucuncu sartlar saglaniyorsa sifir vektoru kumede olmali.

Ote yandan, eger sifir vektoru kumede ise o zaman kumenin bos kume olmadigini, yani birinci ozelligin saglandigini soyleyebiliriz.

O halde, alt kume olmanin sartlarini:

1) Sifir vektorunu icerme.

2) ..... (Senin yazdiklarin) ...

3) .... (Senin yazdiklarin) ....

olarak degistirebilirim. Bu su acidan yararli: Boskume olup olmadigindan ziyade sifir vektorunu icerip icermedigine bakabilirim elimdeki kumenin. 

Simdi soruya donelim. Elindeki $M$ kumesi matrislerden olusuyor, yani iki carpi ikilik matrisler uzayinin bir alt kumesi. Sunlari cevaplayabilir misin?

a) Bu matris uzayinda sifir vektoru ne? (Cevabin iki carpi ikilik bir matris olacak.)

b) a sikkinda soyledigin matris $M$ kumesi icerisinde yer aliyor mu? Yani $A^2 = I$ denklemini sagliyor mu? Saglamiyorsa $M$'nin icerisinde degil demektir ve bu da benim birinci kosulumu, senin ise birinci ve ucuncu kosullarini ihlal ettiginin gosterir $M$'nin. Sagliyorsa o zaman kosullari kontrol etmeye gecmeliyiz.

Ekstra sorular:

c) Soruyla alakasiz, ama elindeki kumeyi daha iyi anlamak icin $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ matrisinin karesini hesapla. $I, -I$ ve bu matris ile birlikte $x^2 = I$ denkleminin en az uc tane koku oldugunu gozlemle. Aslinda daha fazla da var. Matrislerde carpma garip bir carpm (ama dogal).

d) $I ^2 = I = (-I)^2$ oldugunu biliyorsun. $I + (-I) = 0$ matrisinin karesi ne? Bu, ikinci kosul icin ne soyler? Ayni seyi $I + I = 2I$ matrisi icin de yapabilirsin.

e) Keyfi bir $c$ skaleri icin $\begin{bmatrix}c & 0 \\ 0 & c\end{bmatrix} = cI$ matrisinin karesi ne? Bu, ucuncu kosul icin ne soyler?

Not: a ve b siklarini dogru cevapladiysan, c, d, e siklarina ihtiyacin yok.

Comments

Teşekkürler, yorumlarınıza kesinlikle katılıyorum.Soruyla alakasız dediğiniz A matrisi tam yerinde verilmiş bir matris.Çünkü soruda A^2=I denilmiş bu bana matrisin involutif matris olduğunu söyler ve dediğiniz A matrisi involutif matristir;)

---

Sorunun cevabini bulduktan sonra gelip buraya cevap olarak yazabilirsin istersen.