Yorumlarda soyledigin alt uzay olma sartlari kesinlikle dogru.
Simdi bunu biraz degistirmeye calisalim.
Birinci ozelligin ve ucuncu ozelligin saglandigini kabul edelim. Yani kumemizde en azindan bir vektor bulunsun, adina $v$ diyelim. Bu vektoru keyfi bir skalerle carptigim zaman yine kumenin icinde kalmam gerekiyor. Keyfi skalerimi $0$ olarak secersem eger, $0v$'nin kumenin icinde yer almasi lazim. Ama $0v = 0$ (burada ikinci sifir, sifir vektorunu gosteriyor). Dolayisiyla, birinci ve ucuncu sartlar saglaniyorsa sifir vektoru kumede olmali.
Ote yandan, eger sifir vektoru kumede ise o zaman kumenin bos kume olmadigini, yani birinci ozelligin saglandigini soyleyebiliriz.
O halde, alt kume olmanin sartlarini:
1) Sifir vektorunu icerme.
2) ..... (Senin yazdiklarin) ...
3) .... (Senin yazdiklarin) ....
olarak degistirebilirim. Bu su acidan yararli: Boskume olup olmadigindan ziyade sifir vektorunu icerip icermedigine bakabilirim elimdeki kumenin.
Simdi soruya donelim. Elindeki $M$ kumesi matrislerden olusuyor, yani iki carpi ikilik matrisler uzayinin bir alt kumesi. Sunlari cevaplayabilir misin?
a) Bu matris uzayinda sifir vektoru ne? (Cevabin iki carpi ikilik bir matris olacak.)
b) a sikkinda soyledigin matris $M$ kumesi icerisinde yer aliyor mu? Yani $A^2 = I$ denklemini sagliyor mu? Saglamiyorsa $M$'nin icerisinde degil demektir ve bu da benim birinci kosulumu, senin ise birinci ve ucuncu kosullarini ihlal ettiginin gosterir $M$'nin. Sagliyorsa o zaman kosullari kontrol etmeye gecmeliyiz.
Ekstra sorular:
c) Soruyla alakasiz, ama elindeki kumeyi daha iyi anlamak icin $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ matrisinin karesini hesapla. $I, -I$ ve bu matris ile birlikte $x^2 = I$ denkleminin en az uc tane koku oldugunu gozlemle. Aslinda daha fazla da var. Matrislerde carpma garip bir carpm (ama dogal).
d) $I ^2 = I = (-I)^2$ oldugunu biliyorsun. $I + (-I) = 0$ matrisinin karesi ne? Bu, ikinci kosul icin ne soyler? Ayni seyi $I + I = 2I$ matrisi icin de yapabilirsin.
e) Keyfi bir $c$ skaleri icin $\begin{bmatrix}c & 0 \\ 0 & c\end{bmatrix} = cI$ matrisinin karesi ne? Bu, ucuncu kosul icin ne soyler?
Not: a ve b siklarini dogru cevapladiysan, c, d, e siklarina ihtiyacin yok.