Question

$\tan 10=a+\dfrac {1} {\cot 100}$ $\cot 10=b-\dfrac {1} {\tan 100}$ olduğuna göre,$\left( 1-\tan ^{2}10\right) :\left( 1-\cot ^{2}10\right)$ ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir?

Answer 1

$tan10=a+tan100=a-tan80=a-cot10\Rightarrow tan10+cot10=a............(*)$ dır. 

Benzer şekilde $cot10=b-cot100=b+cot80=b+tan10\Rightarrow cot10-tan10=b..............(**)$ dır.

$(*),(**)$ denklemlerinin taraf tarafa toplamından, 

$$tan10+cot10=a$$

$$cot10-tan10=b$$ ,$$cot10=\frac{a+b}{2},\quad tan10=\frac{a-b}{2}$$ olacaktır. Bu değerler sorulan eşitlikte yerine yazılırsa ,

$$\frac{1-tan^210}{1-cot^210}=\frac{1-\frac{(a-b)^2}{4}}{1-\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{4-(a-b)^2}{4-(a+b)^2}=\frac{(2-a+b)(2+a-b)}{(2-a-b)(2+a+b)}$$ olacaktır.