Question

$n\in \mathbb{Z}$ ve $\zeta=e^{2\pi i/n}$ için $\Bigg|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}\Bigg|=\sqrt{n}$

Comments

$n=2$ icin saglamiyor ama $n=3,4$ sagliyor.

---

Soru aynen böyle verilmiş. Belki de hangi $n$ değerleri için eşitlik sağlanıyor diye sormak daha doğru.

---

bi ilerleme oldu mu bu soruda?

---

Maalesef bir gelişme yok.

Answer 1

Deneysel olarak sunlari soyleyebiliriz.

 

\begin{array}{c|ccc} n& \sqrt{n} &\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}&\Bigg|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}\Bigg|\\\hline
 1 & 1 & 1 & 1 \\
 3 & \sqrt{3} & i \sqrt{3} & \sqrt{3} \\
 5 & \sqrt{5} & \sqrt{5} & \sqrt{5} \\
 7 & \sqrt{7} & i \sqrt{7} & \sqrt{7} \\
 9 & 3 & 3 & 3 \\
 11 & \sqrt{11} & i \sqrt{11} & \sqrt{11} \\
 13 & \sqrt{13} & \sqrt{13} & \sqrt{13} \\
 15 & \sqrt{15} & i \sqrt{15} & \sqrt{15} \\
 17 & \sqrt{17} & \sqrt{17} & \sqrt{17} \\
 19 & \sqrt{19} & i \sqrt{19} & \sqrt{19} \\
 21 & \sqrt{21} & \sqrt{21} & \sqrt{21} \\
 23 & \sqrt{23} & i \sqrt{23} & \sqrt{23} \\
 25 & 5 & 5 & 5 \\
 27 & 3 \sqrt{3} & 3 i \sqrt{3} & 3 \sqrt{3} \\
 29 & \sqrt{29} & \sqrt{29} & \sqrt{29} \\
 31 & \sqrt{31} & i \sqrt{31} & \sqrt{31} \\
\end{array}

 

\begin{array}{c|ccc} n& \sqrt{2n} &\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}&\Bigg|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}\Bigg|\\\hline
 2 & 2 & 0 & 0 \\
 4 & 2 \sqrt{2} & (2+2 i) \sqrt{1}& 2 \sqrt{2} \\
 6 & 2 \sqrt{3} & 0 & 0 \\
 8 & 4 & (2+2 i) \sqrt{2} & 4 \\
 10 & 2 \sqrt{5} & 0 & 0 \\
 12 & 2 \sqrt{6} & (2+2 i) \sqrt{3} & 2 \sqrt{6} \\
 14 & 2 \sqrt{7} & 0 & 0 \\
 16 & 4 \sqrt{2} & (2+2 i) \sqrt{4} & 4 \sqrt{2} \\
 18 & 6 & 0 & 0 \\
 20 & 2 \sqrt{10} & (2+2 i) \sqrt{5} & 2 \sqrt{10} \\
 22 & 2 \sqrt{11} & 0 & 0 \\
 24 & 4 \sqrt{3} & (2+2 i) \sqrt{6} & 4 \sqrt{3} \\
 26 & 2 \sqrt{13} & 0 & 0 \\
 28 & 2 \sqrt{14} & (2+2 i) \sqrt{7} & 2 \sqrt{14} \\
 30 & 2 \sqrt{15} & 0 & 0 \\
\end{array}

$n=2m+1:\quad\Bigg|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}\Bigg|=\sqrt{n} $

$n=2m\wedge n\neq4m:\quad\Bigg|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}\Bigg|=0$

$n=4m:\quad\Bigg|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \zeta^{k^2}\Bigg|=\sqrt{2n} $

 

Kirmizi noktalar $n=2m+1$ ve mavi noktalar $n=2m$

 

 

Comments

Sıfır olanları açıklamak kolay aslında.

Genel için iç ifadenin karesini alıp $k^2+\ell^2 \mod n$ davranısına bakabiliriz. Buradan bir sonuç gelebilir diye düşünüyorum. Bir ara bakacam :)

---

Bu durumda soruyu değiştirmek lazım değil mi?

Answer 2

$\gamma\in\{0,1,\dots,n-1\}$ olmak üzere $F(\gamma) = \sum_{k=1}^n e^{2\pi ik^2/n}e^{-2\pi ik\gamma/n}$ ile uğraşmak işe yarayabilir. Buna göre yukarıda $|F(0)|$ soruluyor.  $F(\gamma)$ toplamı, her $\gamma$ için kolayca hesaplanabilir. Ayrık Fourier dönüşümü (discrete Fourier transform)'nün özelliklerini de işin içine dahil edebilirsiniz.