Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.1k kez görüntülendi

$\int_{0}^{1}\frac{dt}{t-\sin t}$

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.1k kez görüntülendi

Sokak ağzı olan "çözücez" yerine "çözeceğiz" gibi bir tercihte bulunulsa daha iyi olurdu. Üniversite eğitimi almış insanların bilhassa topluluğa hitap ederken kelimelerini daha özenle yazmasını beklemek çok birşey olmasa gerek.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ipucu: $\sin t$ verilen aralikta pozitif. Bu durumda $t> t-\sin t$ olur. 

(25.5k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

(Ortalama Değer Teoreminden) 

Her $0<t\leq 1$ için  $f(x)=x-\sin x$ fonksiyonu için, 

$t-\sin t=(1-\cos c)t$ olacak şekilde ($t$ ye bağlı) bir $c\in(0,t)\subseteq(0,\frac\pi2)$ sayısı vardır.

($0<t<\frac\pi2$ için)       $1-\cos t=\frac{\sin^2t}{1+\cos t}<t^2$ (çünki her $t\in\mathbb{R}$ için $|\sin t|\leq |t|$ dir.)

$0<1-\cos c<1-\cos t<t^2$ olduğundan, 

Her $0<t\leq1$ için $0<t-\sin t<t^3$  elde edilir. 

(Bu eşitsizlik, Kalanlı Taylor teoreminden de elde edilebilir)

Buradan, her $0<t\leq1$ için $\frac1{t-\sin t}>\frac1{t^3}>0$ bulunur.

$\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{t^3}$ integralinin ıraksak olduğu (tanımdan) kolayca görülür.

Karşılaştırma Testinden, 

$\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{t-\sin t}$ integrali de ıraksak olur.


(6.2k puan) tarafından 
20,275 soru
21,807 cevap
73,490 yorum
2,452,718 kullanıcı