İntegral sorusunu doğrudan karşılaştırma testi ile çözücez

Question

$\int_{0}^{1}\frac{dt}{t-\sin t}$

Comments

Sokak ağzı olan "çözücez" yerine "çözeceğiz" gibi bir tercihte bulunulsa daha iyi olurdu. Üniversite eğitimi almış insanların bilhassa topluluğa hitap ederken kelimelerini daha özenle yazmasını beklemek çok birşey olmasa gerek.

Answer 1

ipucu: $\sin t$ verilen aralikta pozitif. Bu durumda $t> t-\sin t$ olur. 

Answer 2

(Ortalama Değer Teoreminden) 

Her $0<t\leq 1$ için  $f(x)=x-\sin x$ fonksiyonu için, 

$t-\sin t=(1-\cos c)t$ olacak şekilde ($t$ ye bağlı) bir $c\in(0,t)\subseteq(0,\frac\pi2)$ sayısı vardır.

($0<t<\frac\pi2$ için)       $1-\cos t=\frac{\sin^2t}{1+\cos t}<t^2$ (çünki her $t\in\mathbb{R}$ için $|\sin t|\leq |t|$ dir.)

$0<1-\cos c<1-\cos t<t^2$ olduğundan, 

Her $0<t\leq1$ için $0<t-\sin t<t^3$  elde edilir. 

(Bu eşitsizlik, Kalanlı Taylor teoreminden de elde edilebilir)

Buradan, her $0<t\leq1$ için $\frac1{t-\sin t}>\frac1{t^3}>0$ bulunur.

$\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{t^3}$ integralinin ıraksak olduğu (tanımdan) kolayca görülür.

Karşılaştırma Testinden, 

$\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{t-\sin t}$ integrali de ıraksak olur.