Sanırım şunu sormak istediniz:
Öyle bir topolojik uzay var mıdır ki bir metrik tarafından üretilmesin (doğurulmasın). Sorunuz buysa şöyle cevaplayabiliriz. Boştan farklı bir $X$ kümesi üzerinde tanımlı indiskret topolojiyi doğuran bir metrik yoktur.(Neden?) (İpucu: Her metrik uzay bir Hausdorff uzayıdır.)