Sonlu değişmeli grubun kendi dual grubuna izomorfik olması

Question

$G$ sonlu değişmeli bir grup olsun.

$\hat{G}, G$ grubunun indirgenemez karakterlerinden oluşan grup ise, $G\cong\hat{G}$ oldugunu gösteriniz.

Comments

Siz ne yaptiniz cozumu icin? Takildiginiz yer neresi?

---

Aslında soruyu sorduktan sonra cevabı buldum,grubumuzu devirli(cyclic) grupların direk çarpımı olarak yazdım ve $\hat{\mathbb{Z}}_n\cong\mathbb{Z_n}$ olduğunu kullandım.

---

Cevabi da ekleyebilirsin.

Answer 1

G sonlu değişmeli grup olduğu için şu şekilde yazabiliriz:

$G\cong\mathbb{Z_{n1}}\times \mathbb{Z_{n2}}\times.......\times\mathbb{Z_{ns}}$  , $n_i|n_{i-1}$ , $i=2,3,.....,s$  için

Buradan da  $\hat{(G\times H)}\cong\hat{G}\times\hat{H}$ ve $\hat{\mathbb{Z_n}}\cong\mathbb{Z_n}$ kulanarak

$\hat{G}\cong\hat{(\mathbb{Z_{n1}}\times \mathbb{Z_{n2}}\times.......\times\mathbb{Z_{ns}})}\cong\mathbb{\hat{Z}_{n1}}\times \mathbb{\hat{Z}_{n2}}\times.......\times\mathbb{\hat{Z}_{ns}}\cong\mathbb{Z_{n1}}\times \mathbb{Z_{n2}}\times.......\times\mathbb{Z_{ns}}\cong G$

elde ederiz.