a) ilk olarak δ(1)=δ(1⋅1)=1⋅δ(1)+1⋅δ(1)
oldugundan
δ(1)=0 olur. Ayrica
δ bir
K-lineer fonksiyon oldugundan her
a∈K icin
δ(a)=δ(a⋅1)=aδ(1)=0
olur.
b) Verilen ifade
n=1 icin dogru:
z∈F olsun. Bu durumda
δ(zn)=δ(z)=nzn−1δ(z)
olur. Tumevarim icin baslangic noktamiz var artik.
Verilen ifadenin
n=k icin dogru oldugunu kabul edelim. Bu durumda
δ(zk+1)=δ(z⋅zk)=znδ(z)+zδ(z)
=z(kzk−1δ(z))+zkδ(z)=(k+1)zkδ(z)
oldugundan eger verilen ifade
n=k icin dogru ise
n=k+1 icin de dogrudur. Ispatimi tume varim ile bitmistir.
c) b'den dolayi
δ(zp)=pzp−1δ(z) olur ve
char K=p oldugundan ifade sifira esit olur.
d) Ilk olarak
δ(1/y)=−δ(y)/y2 oldugunu gosterelim:
0=δ(1)=δ(y⋅1/y)=yδ(1/y)+1yδ(y)
oldugundan
δ(1/y)=−δ(y)/y2 olur.
Bu durumda
δ(x/y)=xδ(1/y)+1yδ(x)=x(−δ(y)/y2)+1yδ(x)=(yδ(x)−xδ(y))/y2
olur.