a) Eger boyle bir turev var ise biricik olacagini Onsav 4.1.3'te gosterdik. Ek olarak $F$ cisminin bariz bir sekilde sonlu ayrilabilir genislemesi olan $E$ cisminin ferdi bir unsurunu icerdigini soylemek gerekir, ki boyle bir eleman mevcut. (Neden?). Bu nedenle sadece varligini ispatlamak yeterli.
Ilk olarak $s', s^o$ (aslinda binlar birer islem, $s$ elemani uzerine gelen $'$ ve $^o$ islemleri) fonksiyonlarini tanimlayalim: $$s(T)=\sum\limits_{i=0}^ns_iT^i \to s'(T)=\sum\limits_{i=0}^nis_iT^{i-1} $$ ve $$s(T)=\sum\limits_{i=0}^ns_iT^i \to s^o(T)=\sum\limits_{i=0}^n\delta_0(s_i)T^{i}.$$ Acik bir sekilde bu fonksiyonlar $K$-lineer ve carpim kuralini saglar.
$E=F(u)$ olacak sekilde $u \in F$ elemani secelim. $f(T) \in F[T]$ polinomu $u \in E$ elemaninin $F$ cismi uzerinde minimal polinomu olsun ve $n := [E:F] := \deg f$ olarak tanimlayalim.
Her $y \in E$ elemani $h(T) \in F[T]$ ve $\deg h<n$ olacak sekilde $y=h(u)$ olarak biricik sekilde yazilabilir.
Turevimiz $\delta: E \to N$ icin $$\delta(y)=h^o(y)- \frac{f^o(u)}{f'(u)}h'(u)$$ fonksiyonunu tanimlayalim. Bu fonksiyonunu istedigimiz turev oldugunu gosterecegiz. (Ek olarak: $f$ polinomu $u\in F$ elemaninin minimal polinomu oldugundan $f'(u)$ sifir olamaz).
Ilk olarak $y \in F$ olsun. Bu durumda $h(T)=y$ ve $h'(y)=0$ olur ve de $h^o(T)=\delta_0(y)$ olur. Yani $$\delta(y)=h^o(y)- \frac{f^o(u)}{f'(u)}h'(u)=\delta_0(y)$$ olur.Bu da $\delta$ fonksiyonunun $F$ cismine kisitlamasinin $\delta_0$ turevi oldugunu verir.
Yukarida da belirttigimiz gibi $s^o$ ve $s'$ fonksiyonlari $K$-lineer oldugundan $\delta$ da $K$-lineer olur. Geriye carpim kuralinin sagladigini gostermek kaliyor.
$y,z \in E$ olsun ve $y=h(u)$, $z=g(u)$ elemanlarini $h(T),g(T) \in K[T]$ ve $\deg h,\deg g <n$ olacak sekilde yazalim. Ayrica $h(T)g(T)=c(T)f(T)+r(T)$, $\deg r <n$ olacak sekilde yazalim. Bu durumda $yz=c(u)f(u)+r(u)=r(u)$ olur.
O zaman $$\delta(yz)=(r^o-\frac{f^o}{f'}r')(u)=\frac{1}{f'(u)}(r^of'-f^or')(u)=\frac{1}{f'(u)}((gh-cf)^of'-f^o(gh-cf)')(u)$$ olarak yazilir. ($^o$ ve $'$ icin carpim kuralinin acik oldugu biraz bariz. Zaten $'$ bizim gundelik hayatta kullandigimiz formal turev. Belki bunlari da eklerim ilerde, fakat simdi degil. Bu nedenle egzersizmis gibi kalsin). Ayrica $f(u)=0$ oldugunu da kullanarak $$\delta(yz)=\frac{1}{f'(u)}(g^ohf'+gh^of'-f^og'h-f^ogh')(u)$$ olarak yazabiliriz. Diger taraftan $$y\delta(z)+z\delta(y)=h(u)(g^o-\frac{f^o}{f'}g')(u)+g(u)(h^o-\frac{f^o}{f'}h')(u)=\frac{1}{f'(u)}(g^ohf'+gh^of'-f^og'h-f^ogh')(u)$$ olur. Yani $\delta(yz)=y\delta(z)+z\delta(y)$ olur.
b) Tek oldugunu Onsav 4.1.2'den biliyoruz. Sadece varligini gostermemiz yeterli. Bir adet $\delta(x)=1$ sartini saglayan $\delta : F \to N$ turevinin oldugunu gostermek icin (a)'nin yardimi ile $\delta_0(x)=1$ olacak sekilde $\delta_0(x): K(x) \to N$ turevinin varligini gostermemiz yeterli. Eger $\delta_0$ fonksiyonunu $$\delta_{0}\bigg(\frac{f(x)}{g(x)}\bigg):=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$ olarak tanimlarsak, $f(x),g(x) \in K[x]$ ve $f'$ formal (bildigimiz) turev olmak uzere. $\delta_0$ fonksiyonunun bir turev belirttigini ve $\delta_0(x)=1$ sartini sagladigini zaten biliyoruz.