Eşitsizlik çözüm yöntemi hakkında bir soru

Question

Merhaba, öncelikle başlığın pek açıklayıcı olmadığının farkındayım.Bu konuda kusura bakmayın lütfen.

Ortaokul matematiğinde eşitsizlikleri çözmek için basit bir method var.Örneğin ;

$(x-2)(x^2 - 2x -3)\leq0$

eşitsizliğinin çözümü için ilk önce $(x-2)(x^2 - 2x -3)=0$ denkleminin kökleri bulunup sayı doğrusuna yerleştirilir.Sonrasında bu eşitsizliğin baş katsayısının işareti ne ise (örneğin burada pozitif) en büyük kökün sağından başlayarak sırası ile (işareti + kabul edersek ve köklerin çift kök olmadığını farz edersek) + | - | + | - ... işaretleri kökler arasındaki aralıklara yerleştirilir.Son işlem olarak bizden istenen aralıklar (bu eşitsizlikte sıfırdan küçük ve eşit olan değerler isteniyor) çözüm kümesine dahil edilir.

Soruma gelecek olursak, ben bu methodun mantığını anlamak istiyorum.

Öncelikle bu denklemin grafiğini düşünerek bazı yorumlar yaptım.Örneğin, bu denklemin köklerini bularak x eksenini kestiği noktaları bulmuş olduk.Bu köklerin çift katlı kök dolayısıyla grafiğin x eksenine teğet olduğu noktalar olmadığını düşünerek bu noktalar arasında f(x)'in değeri sırasıyla pozitif - negatif - pozitif şeklinde gidiyor.

Benim kafamın takıldığı nokta neden eşitsizliğin başkatsayısının işareti ile en büyük kökün sağından başlayarak bu işlemi yapıyoruz ? Ve yaptığım yorumların doğruluğu nedir ?

Answer 1

Mantigi basit. Polinomlar icin:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ olarak carpanlarina ayrilsin ve $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ olsun.

$(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ her zaman pozitiftir. Cunku hic koku yok ve surekli. Bir tane pozitif deger aldigini gostersek yeterli. Bunun icin sonsuza giderken limiti sonsuz diyebiliriz ya da $b_i$'lerin pozitif olmasi gerektigini bilerek $f(0)$ degerinin pozitif oldugunu soyleyebiliriz. 

Demek ki isaret icin son kismi atarak $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$ polinomunu inceleyebiliriz. 

Burada $a>0$ secelim. Eger $a<0$ olursa tum isaretler yerdegistirir. Bu nedenle sadece $a>0$ icin yapsak yeterli.

Mantik su:  Eger $t<x_1$ demek ki $(t-x_i)$'lerin hepsi negatif olacak demek ki isaret $(-1)^n$ olacak. Eger $t>x_n$ ise $(t-x_i)$'lerin hepsi pozitif olacak isaret de pozitif olacak.

Kisacasi saymamiz gereken $t$ sayisinin sol tarafinda (kat sayisi ile birlikte) kac kok var. Eger $t$'nin solunda $u$ tane kok varsa isaret $(-1)^u$ olacak.

Bu durumda eger tek uslu bir kok uzerinden atlarsak $(-1)^{u+tek}=-(-1)^u$ olacagindan isaret degistirecek ve cift uslu bir kokun uzerinden atlarsak $(-1)^{u+cift}=(-1)^u$ olacagindan isaret degismeyecek.

Eger polinom bolmesi olsaydi yine solundaki kokleri sayacaktik. Daha da genellestirilebilir. Fakat mantigini anlamak icin bu kadari yeterli diye dusunuyorum.

Comments

Cevabınız için çok teşekkürler.