Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

Merhabalar;

Şöyle bir soruyla karşılaştım;

$a,b,c \in \mathbb{R}^+$ olmak üzere

$a+b+c\leq {3 \over 2}$ koşulunu sağlayan $a,b,c$ gerçel sayıları için;

$P=\left(3+\dfrac1a+\dfrac1b\right)\cdot\left(3+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\cdot\left(3+\dfrac1a+\dfrac1c\right)$ için $P$ gerçel sayısının alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Bu soru için gördüğüm çözümde 

From holder (holder'den) diyerek;

$\left(3+\dfrac1a+\dfrac1b\right)\left(3+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\left(3+\dfrac1a+\dfrac1c\right)\geq \left(3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3 \geq (3+2+2)^3=343$

Ve eşitlik $a=b=c={1 \over2}$ için sağlanıyor diyor. Ben de sordum holder acaba özel isim değil de $\dfrac32 \geq a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ den mi bir şey çıkartarak yazmış gibi düşündüm.

Cauchy-Schwarz mı kullandınız diye sorunca, bu üç seri için holder dedi, cauchy-schwarz yalnız iki seri için işe yarar. Ben de araştırdım en son Türk Matematik Vikipediası gibi bir şey vardı ama oradaki dil de benim anlayabileceğimin biraz üstündeydi ve holder değil hölder diyordu. 

O zaman artık soruyorum:); Bu holder eşitsizliği nedir? Nasıl kullanılır? Nasıl ispatlayabilirim?

Teşekkürler:)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (895 puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

 Yani P'nin integralini almış ve sonra da integralin içinde $\sqrt[3]{abc} \leq \dfrac12$'yi mi kullanmış?Teşekkürler hocam:)

Linki değiştirdim. Tekrar inceleyebilirsiniz.

Aslında bildiğimiz $n \in \mathbb{N}$ için $\sum a_nb_n\neq \sum a_n \sum b_n$ eşitsizliğini 

$\sum a_n \sum b_n\geq \sum a_nb_n$ ($a,b \in \mathbb{C}$) olarak açıyormuş. Cauchy-Schwarz'a çok benziyor.(Mutlak değerleri falan eklemedim ama) buna benziyor galiba, acaba holder'i bu soruya nasıl uyarlayabileceğim ile ilgili bir ipucu alabilir miyim? Sağolun hocam:)

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,998,886 kullanıcı