Daha iyi cevaplarin gelecegine eminim.
Mesela
1) $X$ sonlu bir kume olsun. $f: X\to \mathbb R$ fonksiyonu sinirli dersin ve basitcene ispatlarsin.
2) $X$ tikiz oldugunda $f: X\to \mathbb R$ surekli fonksiyonu sinirli dersin ve basitcene ispatlarsin.
3) $X=(0,1)$ icin $f: X\to \mathbb R$ surekli fonksiyonu sinirli olmak zorunda degil, buna da basit bir ornek bulabilirsin.
Sonlu kumeler basittir. Yani $n$ eleman var diyelim. Elinle (omrun yeterse) $n$ tane nokta koyarsin eleman dersin (fakat elbet sinirli bir surede biter). Topoloji denince akla acik kumeler gelir, cunku topolojinin elemanlarina acik kumeler denir. Yani eger biz sinirli sayida acik kumeye sahipsek yine elle bunlar uzerinde islem yapabiliriz. Elle dedigim illa teker teker islem yapmak zorunda degilim ama aklimiz bunu keser.
Yani:
$1+1/2+1/3+1/4+\cdots+1/100$ sonlu bir sayidir. Bunu hemen deriz. Fakat $1+1/2+1/3+\cdots$ sonlu degil. Ilkinde hicbir islem yapmadim fakat sonlu oldugunu syleyebiliyoruz. Bunu ispatlamak da basit, $100$'den kucuk bir sayi degil mi sonucta?
Tikizlik uzerine bir suru guzel teorem vardir. Bir cogunu okuyucu da biliyordur. Sebebini sinirli sayida acik kume uzerinde islem yapilmasina bagliyorum/baglaniyordur. Ispatlara teker teker bakmadim elbet fakat sinirli sayida acik kumenin guzelliginin ise yarayacagi kesin.