Gamma fonksiyonuna dair

Question

Gamma fonksiyonu, $x>0$ için şu üç özelliği sağlamaktadır. 

1. $x\cdot\Gamma(x)=\Gamma(x+1)$;
   
2. $\Gamma(1)=1$;
3. $\log\Gamma$ fonksiyonu içbükey (convex).

Bohr-Mollerup teoremi bu üç özelliğin $\Gamma$ fonksiyonunu belirlediğini söyler. Yani bu üç özelliğe sahip bir tek fonksiyon olabilir o da $\Gamma$ fonksiyonudur. 

Soru şu: Buna benzer başka teoremler nelerdir? Bilinen meşhur fonksiyonları karakterize eden özellikler nelerdir? Elbette yeterince bilgi verildiği zaman (atıyorum bütün görüntüler) fonksiyon tek türlü belirlenir. Sorum elbette makul derecede az bilgiyle belirlenmeye dair. Örnek olarak şunları sıralayabilirim.

1. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını belirleyen özellikler nelerdir?
2. Zeta fonksiyonunu belirleyen özellikler nelerdir (mümkün olduğunca az)?

Ya da farklı uzaylar üzerindeki fonksiyonlar için de aynı sorular sorulabilir.

1. Fourier dönüşümünü belirleyen/karakterize eden özellikler nelerdir?
2. Mellin dönüşümünü belirleyen/karakterize eden özellikler nelerdir?

Son iki soru için şunu not etmek istiyorum. Bohr-Mollerup teoreminin ispatında görülebileceği gibi $\log$ fonksiyonunun tanımı bir anlam ifade etmiyor, önemli olan fonksiyonun monoton artan olması. O sayede $\log$'dan kurtulup, içbükeylikten faydalanarak fonksiyon için eşitsizlik elde ediliyor. Yani $\log$ yerine başka bir monoton artan $g$ fonksiyonu alıp teoreminin üçüncü şartı $g\circ \Gamma$ fonksiyonu içbükeydir ile değiştirilse teorem yine doğru kalacak ve üstelik $\log$ ve $g$ ile elde edilen fonksiyonlar da aynı olacak. Bu son paragrafa başlarken elde edilecek fonksiyonlar farklı olacak sandım bir an ve Fourier ve Mellin dönüşümleri için $\log$ fonksiyonununu $\Gamma$ fonksiyonu için oynadığı rolü oynayan bir fonksiyon varsa, o fonksiyon değiştirilerek "farklı Fourier dönüşümleri" elde edilir mi, edilirse öyle yapılan bir analiz var mı diyecektim. Ama gördüm ki, öyle değilmiş. Neyse, sorunun asıl kısmı baki.

Comments

Bu fonksiyonları biricik çözüm olarak sağlayan diferansiyel denklemleri fonksiyonu belirleyen özellik olarak sayıyor muyuz?

---

Her şeyi sayıyorum ama esasen gamma fonksiyonu için olan özellikler gibi daha elemanter özellikler benim asıl merak ettiğim. 

---

$e^x$ var, temizinden.

Answer 1

Benim de bugün öğrenme şansım oldu, taze taze.

Cemal Koç'un doğrusal cebir kitaplarından birinde, yanılmıyorsam Linear Algebra, şöyle bir sav var: \begin{equation} f:(\mathbb{F}^{1\times n})^n\rightarrow \mathbb{F} \end{equation} için $n$-doğrusal ($n$-linear), alterne (alternate) ve $f(I)=1$ koşulunu sağlayan tek bir fonksiyon vardır. Diğer yandan \begin{equation} \text{det}_n :{\mathbb{F}}^{\ n\times n}\rightarrow \mathbb{F}\end{equation} fonksiyonunu \begin{equation} \text{det}_n:(\mathbb{F}^{1\times n})^n\rightarrow \mathbb{F} \end{equation} olarak görmek mümkün ve biliyoruz ki determinant fonksiyonu yukarıda adı geçen 3 özelliği de sağlıyor. Demek ki  \begin{equation} f:(\mathbb{F}^{1\times n})^n\rightarrow \mathbb{F} \end{equation} için $n$-doğrusal ($n$-linear), alterne (alternate) ve $f(I)=1$ koşulunu sağlayan tek fonksiyon determinant fonksiyonu.

Diğer yandan determinant fonksiyonunun çok meşhur olduğu herkesçe kabul edilir zannediyorum.

Answer 2

Ergün hocanın şu yanıtı da buraya uygun.

http://matkafasi.com/5281/mobius-ters-yuz-etme-formulu#a5307