Mobius ters yüz etme formülü

0 beğenilme 0 beğenilmeme
241 kez görüntülendi

$f$ ve $g$ tamsayılarda tanımlanmış iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki eşitliklerden birisi doğruysa öteki de doğrudur.$$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$$ ve $$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(n/d)$$

28, Mart, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  soruldu
29, Mart, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Möbius fonksiyonu aslında kısmı sıralı kümeler  (kısküm?) (partially ordered set, poset) teorisinin önemli fonksiyonlarından biridir ve temelde yukarıdakı eşitlikleri sağlayan biricik fonksiyon olarak tanımlanır. Ama sayı teorisindeki uygulamasında genelde önce değerleri verildiği için bu eşitlikler en sonunda ispatlanmak zorunda kalınır. Ben direkt ispat vermek yerine biraz teorisinden bahsedip oradan ispat nasıl yapılıyor onu göstermek istiyorum.

Öncelikle ikinci formülü tekrar yazmak gerekiyor. İkinci eşitlikte $n/d$ yerine $d$ koyunca, 

$f(n)=\sum _{d|n} g(d)$ ve

$g(n)=\sum _{d|n} \mu (n/d)  f (d)$

formüllerini elde ederiz. Bu formüllerin genellemesi şudur: $X$ bir kısmi sıralı küme olsun. $f, g $ fonksiyonları $X$'den tam sayılara giden iki fonksiyon olsun. Bu durumda 

$f(y) =\sum _{ x \leq y} g(x) $ ve

$g(y)=\sum_{x \leq y} \mu (x,y) f(x) $ 

eşitliklerinden bir doğruysa diğeri de doğrudur. Burada $\mu$ fonksiyonu $X\times X$ den tam sayılara tanımlı $f$ ve $g$ den bağımsız sadece $ X$'e bağlı bir fonksiyon. Sayı teorisindaki özel duruma geçmek için $X$'i positif tamsayılar kümesi olarak almak gerekiyor, ayrıca $\mu (d, n)=\mu (n/d)$ alınıyor.

Kıskümlerde yukarıdaki eşitlikler doğrusal cebir kullanılarak ispatlanıyor. $i: X\times X \to \mathbf{Z}$ değerleri  şu şekilde tanımlı fonksiyon olsun: $x \leq y$ ise $i ( x,y)= 1$, değilse $ i(x,y)=0$. Bu durumda yukarıdaki birinci eşitlik $ f=I g$ şeklinde matris eşitliği olarak yazılabilir. İkinci eşitlik $\mu$ fonksiyonunu matrisi $I$' nın tersi olarak almak gerekiyor. Bu $\mu$ fonksiyonunu biricik şekilde ve $ f, g $ fonksiyonlarından bağımsız şekilde tanımlıyor. Sonuç olarak $\mu$ fonksiyonu

$\sum _{x\leq z \leq y} \mu ( x, z ) $ toplamı $x = y$ ise $1$, değilse $ 0$ olan

biricik fonksiyondur. Sayılar teorisinde tanımlanmış olan $\mu$ fonksiyonu bunu sağladığı için ters yüz etme formülünü de sağlar.

Bir orta öğretim sorusuna da böyle çözüm yazılır mı diyeceksiniz belki ama Möbius ters düz etme formülünü çok severim dayanamadım. 

29, Mart, 2015 Ergun Yalcin (174 puan) tarafından  cevaplandı
29, Mart, 2015 Ergun Yalcin tarafından düzenlendi
Valla bence çok şahane bir yanıt olmuş. Aksine, ortaöğretim sorusunu ortaöğretim öğrencilerinin çözebileceği biçimde çözmemen daha iyi olmuş Ergün hocam. Hala ortaöğretim öğrencileri için basit hesaplamalarla yanıtı arayabilecekleri soru baki. Öte yandan Mobius fonksiyonuna bilmediğim genel yaklaşımı öğrenmiş oldum. Elinize sağlık.

Not. Bu yanıt aynı zamanda Gamma fonksiyonu için Bohr-Mollerup teoreminin söylediği gibi, fonksiyonel eşitlikler tarafından tek türlü belirlenen fonksiyonlara örnekler soruma da yanıt olarak verilebilir. O yüzden bu yanıtınıza o sorunun altında link vereceğin.


Cevapta ufak bir sorun vardı şimdi düzelttim. Möbius fonksiyonunun posetlerin topolojisi ile de ilişkisi var. $\mu(x,y)$, $x, y$ açık aralığının posetinin indirgenmiş Euler karakteristiği olarak da ifade edilebiliniyor.

...