Mobius fonksiyonu

Question

Bir $n$ doğal sayısı için $d(n)$ sayısı $n$ sayısının asal çarpanları sayısı olsun. Mobius $\mu$ fonksiyonunu da şöyle tanımlayalım. eğer $n$ bir kare tarafından bölünüyorsa $$\mu(n)=0$$ olsun, eğer $n$ sayısının hiç kare böleni yoksa $$\mu(n)=(-1)^{d(n)}$$ olsun. Şu eşitlikleri ispatlayın: Eğer $n\neq 1$ ise $$\sum_{d|n}\mu(d)=0;$$ eğer $n=1$ ise $$\sum_{d|n}\mu(d)=1$$

Answer 1

$n=1$ ise $\mu(1)=1$.

$n=p$ ise $\mu(1)+\mu(p)=0$. 

eger $n$ sayisi $1$'den fazla farkli asalin carpimiysa (bir asal $p$'yi ayiralim) tum $a|n, p \not | a$ icin $\mu(a)+\mu(pa)=0$ olacagindan toplam sifir olur.

bir asalin kuvveti $\geq 1$ ise karelerden sifir geleceginden kare-ozgur parcasiyla (square-free-part) ayni toplama esit olur.