Diziler

Question

$a_{n}  =\left( 1+\dfrac {1} {n}\right)^n$ olarak 

$\ln a_n=n\ln \left( 1+\dfrac {1} {n}\right)$ olsun.

Uygun fonksiyon kullanılarak $\left\{ a_{n}\right\}$'in artan ve  e sayısının  $\left\{ a_{n}\right\}$ için bir üst sınır olduğunu gösteriniz.

Comments

uzeri $n$ unutulmus.

Answer 1

Bu sorularin benzeri ve daha ust seviyeleri var sitede, onlari da ziyaret edebilirsiniz:

$f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ fonksiyonu pozitif tam sayilarda bu dizi ile ortusuyor. O halde 

$\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln(1+\frac{1}{x})=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{-1}{x^2}}{(1+\frac{1}{x})\frac{-1}{x^2}}=1$.
 
Burdan da cevabimiz $e$ gelir. Cunku $f(x)=e^x$ fonksiyonu $0$ cevresinde surekli (!) ..surekli olmazsa lmiti uste atamayiz!

Comments

Çözüm için teşekkür ederim. Henüz sitede yeniyim. İrregular olduğum için mat 1 görmeden mat 2 alıyorum. Bu tür soruları anlamaktan zorlanıyorum. Ama sayenizde anladım teşekürler ederim. Yalnız takıldığım yer artan olduğunu göstermedik?

---

Onu atlamisim ama bu $f(x)$ fonksiyonun $lnf(x)$ yardimiyla turevini bulup, buyuk sifir oldugunu gosterecez. Basit yani. Eger yapamazsan onu da gosteririm.

---

türevi aldığımda f'(x)= ln(x+1/x) - 1/x+1 buluyorum. Burdan devamını getirip 0'dan büyük nasıl göstercem acaba?

---

$ln(x+1/x)$ sayisi en kotu $3$ ten sonra $1$'den buyuk ve $1/x$ surekli $1$'den kucuk.