fonksiyonlar .bağıntılAR

Question

herhangi bir f fonksiyonunun biri çift diğeri tek olan iki fonksiyon toplamı şeklinde yazılacağını gösterin

Comments

Herhangi bir çift fonksiyonu (meselâ $f(x)=x^2$), tek ve çift fonksiyon toplamı olarak yazabilir miyiz?

Her fonksiyon nasıl tek ve çift fonksiyon toplamı olarak yazılabilir? Anlamadım.

---

$x^2+0$ olarak yazarsan $x^2$ cift ve $0$ tek olur.

Tamim kumesi $0$'a gore simetrik mi? Mesela $f(x)=\sqrt x$ fonksiyonu negatiflerde tanimli degil. 

---

Sercan hocam,

$f(x)=0$ tek bir fonksiyon değildir, çünkü $f(1)=f(-1)=0$'dır.

O yüzden, $f(x)=x^2$ fonksiyonunu tek ve çift fonksiyon toplamı şeklinde yazamayız sanırım.

---

$f(x)=0$ ise $f(-x)=-0=-f(x)$ olur.

$f(x)=0$ fonksiyonu hem tek hem de cift bir fonksiyondur. 

Tanimda cift fonksiyon olan tek olamaz demiyor ki. Tanim belli. $f(-x)=-f(x)$ esitliginin saglanmasi.

Answer 1

$f: A\rightarrow A$ bir fonksiyon olsun. 

($A\rightarrow A$ da tanımlı olması, tek-çift durumunda $x\in A$ iken $-x\in A$ olması gerekliliğinden kaynaklanıyor.) 

Şu gözlemi ortaya koyalım: Her $f$ için 

$$\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

$$\psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

fonksiyonları sırasıyla çift ve tek fonksiyonlardır. Buradan $f(x)=\varphi(x)+\psi(x)$ olduğu kolaylıkla görülür.

Comments

Basta aldigin $f$'yi sonda bulmus oldun. Tek ve cift toplami oldugunu kabul etmissin.

ispat su sekilde  olmali: $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ seklinde yazilabilir ve $f_1(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ cift, $f_2(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ tek bir fonksiyon.

---

Düzeltmeye çalıştım. Peki tanım kümeleri hakkında ne denebilir? $A\rightarrow A$ olması gerekiyor mu?

---

Gerekmiyor. Sadece tanim kumesinin $x$ varsa $-x$ de olmali. Diger turlu $f(-x)$'i tanimlayamayiz. Ayrica bu cevap icin karakteristik de $2$ olmamali. Cunku payda da $2$ var. Zaten karakteristik $2$'de $-x=x$ olur. Onu bu soru icin biraz tinlamayalim. Zaten kendisini yeterince tinlattiriyor.