Birebir Fonksiyon

Question

$A=\left\{(x,y)\big{|}x^2+y^2=1\right\}\subseteq \mathbb{R}^2$ ve $B=\left\{(x,y)\big{|}|x|+|y|=1\right\}\subseteq \mathbb{R}^2$ olmak üzere

$$f:A\rightarrow B, \,\ f(x,y)=\left(\frac{x}{|x|+|y|},\frac{y}{|x|+|y|}\right)$$ veya $$g:B\rightarrow A, \,\ g(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Comments

Birebirlik icin $f(a,b)=f(c,d)$ ise $(a,b)=(c,d)$ olmali. Bunu denedin mi?

Answer 1

Her $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A$ için $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\Rightarrow (x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ olduğunu göstermeliyiz.

$f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\Rightarrow (\frac{x_1}{|x_1|+|y_1|},\frac{y_1}{|x_1|+|y_1|})=(\frac{x_2}{|x_2|+|y_2|},\frac{y_2}{|x_2|+|y_2|})= (x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ dir.

Bezer olarak her $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in B$ için $g(x_1,y_1)=g(x_2,y_2)\Rightarrow (x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ olduğunu göstermeliyiz.

$g(x_1,y_1)=g(x_2,y_2)\Rightarrow (\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}})=(\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}},\frac{y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}})$  buradan,

$ (x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ olur. Yani her iki fonksiyon da birebirdir.

Comments

$f$' nin bire-bir olduğunu gösterirken görüntülerin paydalarını Nasıl $1$ kabul ettiniz. Görüntüler $B$ kümesinde. 

---

Hocam $f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow A$ dır.