Sorunuza yanıt olur mu bilmiyorum ama deneyeyim. Populasyonun ortalaması $\mu$, varyansı $\sigma^2$ olsun. Diyelim ki populasyonun ortalamasını biliyoruz ama varyansını bilmiyoruz.
Bu varyansı şöyle kestirebiliriz: $\displaystyle\hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2$
Bu kestirim yansızdır, yani $\displaystyle \frac{n}{n-1}$ katsayısına gerek yoktur.
Bir başka deyişle, $E(\hat{\sigma^2})=\sigma^2$ dir.
Ama genelde ortalamayı da bilmeyiz. O zaman onu da kestirmemiz gerekir:
$\displaystyle \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$
Bu kestirim de yansızdır, yani $E(\hat{\mu})=\mu$ olur. Ortalamayı bilmediğimizden, varyans kestiriminde de bunu kullanacağız, yapacak daha iyi birşey yok. Yani,
$\displaystyle\hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\hat{\mu})^2$
Bu kestirimin yanlı olduğu görülür, yani $E(\hat{\sigma^2})\neq\sigma^2$ olur. Eğer illa yansız kestirim istiyorsak $\displaystyle\hat{\sigma^2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\hat{\mu})^2$ kullanmalıyız.
Bu da kestirimde gerçek ortalamayı değil, örneklem ortalamasını kullandığımız için ortaya çıkar.
Çünkü, $E(\hat{\mu}-\mu)=0$ dır ama $E[(\hat{\mu}-\mu)^2]=0$ değildir.
Bu $n-1$ li kestirimin de başka problemleri var tabii. Örneğin bu şekilde kestirdiğimiz varyans mean square hata açısından bir öncekinden daha kötüdür. Yani yansız diye illa bunu kullanmak zorunda değiliz.