Doğrusal olmayan ancak doğrusalmış gibi gözüken bir fonksiyon

Question

Her $x, y \in \mathbb{R}$ için $f(x+y)=f(x)+f(y)$ olan ve doğrusal olmayan bir $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ var mıdır?

Comments

İpucu: Şu soruyla alakalı olarak soruldu.

---

var demek cevap olarak yeterli mi? 

---

Yanında kanıtı da varsa neden yeterli olmasın :).

---

Onu diger kumeler teorisi calisan arkadaslara, saygim ve sevgimle birakiyorum :)

---

Allah sizi inandırsın lisans birinci sınıf mühendislik öğrencisi bunu sordu geçen sene. 

---

O zaman kendisini matkafası'na üye yapın. Belki çok geç olmadan matematikçi olmaya çeviririz!

---

Evet mühendislerin arasında matematikçi olsa çok iyi olacak çocuklar var.

Answer 1

$\mathbb{R}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerine bir tabanını seçerek verebileceğimiz bir cevap var tabii ki.

Hemen verelim: Böyle bir taban seçin $\{b_\alpha\}_\alpha$. Her bir taban elemanı için rasgele bir gerçel sayı $x_\alpha$ seçin ve $f(b_\alpha) = x_\alpha$ olsun. Bu seçim tüm $\mathbb{R}$'ye toplamsal bir fonksiyon olarak genişler.

Buradan benim sormak istediğim soruya geçelim. Burada taban falan seçtik. Buna mecbur muyuz. Yani $\mathbb{R}$'den bir eleman ve o elemanın gerdiği tek boyutlu uzayı tümleyen bir başka altuzay seçmek, ve hatta bunu çok somut bir şekilde yapmak mümkün değil midir?

Comments

Soruyu sorarken ilerlemek istediğim nokta bu değildi ama madem sordunuz ekleyeyim.

Belirttiğiniz gibi burada $\mathbb{R}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerinde bir tabanı olduğu varsayımını kullanıyoruz ki bunu yapabilmek için (bir miktar) seçim belitine ihtiyacımız var. Anladığım kadarıyla sorunuz seçim beliti olmadan böyle bir fonksiyon bulmanın mümkün olup olmadığı.

Cevap hayır. Eğer sadece $ZF$ belitlerini kullanırsanız böyle bir fonksiyon olduğunu gösteremezsiniz. Nedenine gelelim. Biraz uğraşla yukarıdaki toplamsallık özelliğini sağlayan sürekli her fonksiyonun doğrusal olduğunu gösterebilirsiniz.

Eğer $ZF$ belitleri tutarlı ise, $ZF$+"İki Leh grubu (Polish group) arasındaki her homomorfizma süreklidir" teorisi de tutarlıdır. Bunun kanıtı kabaca şöyle ilerliyor: Şuradaki Teorem 2.2'ye bakarsanız iki Leh grubu arasında Baire ölçülebilir her homomorfizmanın otomatik olarak sürekli olduğunu görebilirsiniz.

Saharon Shelah'nın (Robert Solovay'in bir sonucu üzerine kanıtladığı) ünlü bir teoremine göreyse $ZF$+$DC$ (dependent choice)+"Gerçel sayıların her alt kümesi Baire özelliğine sahiptir" teorisi $ZF$ ile eştutarlıdır (yani biri tutarlıdır ancak ve ancak diğeri tutarlı ise). Bu teorinin bir modeline giderseniz bu modelde $\mathbb{R}$ üzerindeki her toplamsal fonksiyon sürekli ve dolayısıyla doğrusaldır.

Yani eğer yukarıdaki gibi bir fonksiyonun var olmasını istiyorsanız bir şekilde gerçel sayıların her alt kümesinin Baire özelliğine sahip olmadığını garanti edecek kadar seçim beliti kullanıyor olmanız lazım ki $DC$ bile bunun için yeterli değil.