Çarpım

Question

Aşağıdaki ifadenin $2$'nin bir üssü olduğunu gösteriniz.

$\left( \frac{2009}{1} -1\right).\left( \frac{2009}{3} -1\right).\left( \frac{2009}{5} - 1\right)  \dots  \left( \frac{2009}{2k-1} -1\right) \cdots \left( \frac{2009}{1003} -1\right)$

Çalışmayı ilerleterek

$\prod_{j=1}^{n} \left( \frac{4n+1}{2j-1} -1\right)=2^{2n}, n \geq 1$

ifadesini elde ediniz.

Benze şekilde

$\prod_{j=1}^{n} \left( \frac{2n+1}{2j-1} +1\right)=2^{2n}, n \geq 1$

ifadesini de gösteriniz.

Answer 1

 $n=502$ için verilen eşitlik;

$\prod_{j=1}^{502}\left(\frac{2009}{2j-1}-1\right)=\prod_{j=1}^{502}\left(\frac{2010-2j}{2j-1}\right)$ olarak yazılabilir. Buradan,

$=2^{502}\prod_{j=1}^{502}\left(\frac{1005-j}{2j-1}\right)$ 

$=2^{502}(\frac{1004}{1}.\frac{1003}{3}.\frac{1002}{5}...\frac{854}{501}.\underbrace{\frac{853}{503}...\frac{503}{1003}}_{251})$ olur. Burada paydadaki son $251$ terim, payın tek olan $251$ terimini kısaltır. Geriye kalan ifade $2^{502}(\frac{1004.1002.1000.998.996.994...856.854}{1.3.5.7...501})$  şeklindedir.

Burada payın üçerli grupları değişik sırada  $4,2,8$ ile tam bölünür. Yani payın her ardışık üçerli grubu $2^6$ çarpanı içerir.Dolayısıyla payın ilk $249$ çarpanından $251=3.83+2$ olduğundan $(2^6)^{83}$ çarpanı,  ve payın son iki çarpanı $856.854$' ı da $8$ ve $2$ ile tam bölündüğünden $2^4$ çarpanı gelir. Ayrıca bu bölme işlemlerinden sonraki bölüm sayıları da paydadaki çarpanlarla sadeleşeceğinden ;

$=2^{502}(2^6)^{83}.2^4=2^{1004}$ olacaktır. Eğer $n=252$ olduğu kullanılırsa ifade $n\geq1,2^{2n}$ olur. 

Alttaki diğer iki ispat da buna benzer yolla yapılabilir. Ama  yine bakacağım.