Küp sorusu

Question

$n+184$ ve $n-285$ sayılarının her ikisinin de birer tamsayının küpü olmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tamsayılarını bulunuz.

Comments

İpucu: ikisi arasındaki fark incelenebilir.

---

Siz buyrun Sercan hocam.

Answer 1

Biraz uzatayim ve  bir kismini birakayim: 

$469=(a+k)^3-a^3$ olsun. Yukaridaki sayilardan biri tek biri cift oldugundan $k$ pozitif tek olmali.

$k=1$ ise $469=3(a^2+a)+1$ yani $0=a^2+a-156=(a-12)(a+13)$ olur.

$k=3$ ise $469=(a+3)^3-a^3$ yani $0=(3a-17)(3a+26)$ yapar.

$k \geq 5$ icin $a$'nin araligi daha da azalacak. (Aslinda ipucu verirken amacim, $a$ icin araligi azaltmakti, ve $k=1$ icin bile $-13 \leq a \leq12$.) Yani $a \in [-8,5] \subset (-\frac{26}3,\frac{17}3)$ olmali.  Bu durumda $469-5^3 \leq (a+k)^3 \leq 469+8^3$ olmali yani $8 \leq a+k \leq 9$ olmali. (Aslinda burda $k=3$'un verdigi aralik yerine $k=5$'in verecegi araligi kullansaydik araliklar daha da kuculecekti.)

Cevap su an bile gozukuyor. Ek olarak $k>0$ aldik. $k<0$ icin de incelemek lazim fakat $k>0$ direkt olarak $k<0$'in cozumlerini veriyor.