Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere

$$[a,b]=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right)$$

olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (190 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$$[a,b]\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right)$$

ve

$$[a,b]\supseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right)$$ olduğunu göstermek yeterli ve gereklidir.

$$(a,b\in\mathbb{R})(a<b)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left(a-\frac{b-a}{n}< a\right)\left(b< b+\frac{b-a}{n} \right)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall n\in\mathbb{N})\left([a,b]\subseteq \left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right)\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$[a,b]\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right)\ldots (1)$$

$$-----------------------------------$$

$$x\notin[a,b]$$

$$\Rightarrow$$

$$x<a\vee x>b$$

$$\Rightarrow$$

$$0<a-x\vee 0<x-b$$

$$\overset{\text{Arşimet Özelliği}}{\Rightarrow}$$

$$(\exists n_1\in \mathbb{N})(b-a\leq n_1(a-x))(\exists n_2\in \mathbb{N})(b-a\leq n_2(x-b))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists n_1\in \mathbb{N})\left(x\leq a-\frac{b-a}{n_1}\right)(\exists n_2\in \mathbb{N})\left(x\geq b+\frac{b-a}{n_2}\right) $$

$$\Rightarrow$$

$$(n_0:=\max\{n_1,n_2\}\in \mathbb{N})\left(x\leq a-\frac{b-a}{n_0}\right)\left(x\geq b+\frac{b-a}{n_0}\right) $$

$$\Rightarrow$$

$$(n_0:=\max\{n_1,n_2\}\in \mathbb{N})\left (x\in \left(-\infty , a-\frac{b-a}{n_0}\right]\cup \left[b+\frac{b-a}{n_0},\infty\right)\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$(n_0:=\max\{n_1,n_2\}\in \mathbb{N})\left (x\notin \left (a-\frac{b-a}{n_0},b+\frac{b-a}{n_0}\right)\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\notin \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right).$$

O halde $$[a,b]\supseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right)\ldots (2)$$

$$-----------------------------------$$

$$(1),(2)\Rightarrow [a,b]=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left (a-\frac{b-a}{n},b+\frac{b-a}{n}\right).$$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Diger soruna benzer sekilde:

ilk olarak bu acik araliklarin $[a,b]$'yi icerdigini gostermelisin.

diger  yandan $x \not \in [a,b]$ aldiginda bunu icermeyen (en az) bir adet (kesisimde) acik kume oldugunu gostermelisin. Yine $\lim \frac{b-a}{n}=0$ oldugunu kullanarak.

(25.4k puan) tarafından 

İçermek ve kapsamak aynı şeyler midir? $$x\in A$$ ifadesinde $A$ kümesi, $x$ nesnesini içeriyor; $$X \subset A$$ ifadesinde ise $A$ kümesi, $X$ kümesini kapsıyor demez miyiz? Dolayısıyla kapsama iki küme arasında; içerilme ise bir küme ile bir nesne arasında söz konusu olmaz mı?

Matematiksel olarak bunlarda kesinlik var mi bilmiyorum? Icermek (bana gore) kullanilabilir. Ingilizcede de hangi kelimeleri kullandigimi hatirlamiyorum isin garibi, kumeler diline uzak kalmisim epey.

Yanıtı tekrar düzenledim. Kanıt şimdi daha şık oldu.

20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,054,327 kullanıcı