Cauchy dizisi

Question

''$\left( x_{n}\right) _{n}$ dizisinin Cauchy olduğunu kanıtlamak için $\left| x_{k+1}-x_{k}\right| <\varepsilon$ ifadesini (ardışık terimlerin farkını) küçük yapmak yetmez XXX(NEDEN?)XXX ,çünkü $\left| x_{k+1}-x_{k}\right| <\varepsilon$ ifadesi çok küçük olsa da $\left| x_{n}-x_{m}\right| <\varepsilon$ çok küçük olmayabilir.''

Yazar tam olarak ne demeye çalışıyor burada ?

Comments

Anladım. 

          $a_{n} =\dfrac {1} {n+1}$ ifadesinde $a_{n}$ dizisi yakınsak olmasına rağmen,

     $1+\dfrac {1} {2}+\ldots .+\dfrac {1} {n+1}$ ifadesi sonsuza gider.

Answer 1

Ardışık terimlerin arasındaki fark çok küçük olsa da ardışık olmayan terimlerin arasındaki fark çok küçük olmayabilir.

Comments

Örnek verebilir misiniz?

---

Genel terimi $$x_n=\ln n$$ olan $$\langle x_n\rangle$$ gerçel sayı dizisi için $$\lim_{n\to\infty}d(x_{n+1},x_n)=\lim_{n\to\infty}|\ln(n+1)-\ln n|=\lim_{n\to\infty}\left|\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right|$$ $$=$$ $$\lim_{n\to\infty}\left[\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]\overset{?}{=}\ln\left[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]=\ln 1=0$$ olmasına karşın $$\langle x_n\rangle$$ dizisi -sınırlı olmadığından- Cauchy dizisi değildir.

Not: "?" işaretinin olduğu geçişin gerekçesi de önemli.