Question

$y^2=x^3-a$ egrisinin uzerindeki noktalarin sayisinin $p+1$ oldugunu gosteriniz. ($p$ asal ve $p \equiv 2 \: mod \: 3$)

Comments

bir başka deyişle bu eğrinin süpersingüler olduğunu göstermekle eşdeğer.. Bir teorem var oradan direk çıkar kanıt bulunca cevap olarak yazacağım.. 

---

evet haklisin ama bu egri o kadar komplike bir egri degil. Yanliz sunu belirteyim, karakteristik 2 de olabiliyor. Bazi teoremler var supersingular egriler icin ama tek asallar uzerinde cogu.

---

karakteristik 2 ve 3 için Silverman'ın apendix kısmında gerekli olan her bilgi var.. ayrıntılı bir cevap yazacağım :)

Answer 1

$p-1 \equiv 1\: \text{mod} \:3$ oldugundan $(p-1,3)=1$ olur, yani $x \rightarrow x^3$ fonksiyonu $\mathbb{F}_p$ uzerinde birebir orten bir fonsiyon olur. O halde  $x \rightarrow x^3-a$ da birebir orten bir fonsiyon olur. 

Ek olarak: $F_2$ de her sayi karedir ve $F_{tek}^*$'da da yarisi. (carpim grubunun dongusel oldugundan, direk gosterilebilir bunlar.)
Burdan $p+1$ ve $2(\frac{p-1}{2})+1+1=p+1$ nokta gelir.