Trigonometri

Question

Answer 1

Karenin bir kenarının uzunluğu $a$ olursa;$|AS|=a,\quad|SB|=2a/\sqrt3,\quad |BP|=a/\sqrt3$ olacaktır.

$ABP$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|AP|^2=(a+2a/\sqrt3)^2+(a/\sqrt3)^2-2.(a+2a/\sqrt3)(a/\sqrt3).cos60$ yazılabilir. Buradan gerekli işlemlerle $|AP|=a\sqrt{2+\sqrt3}= \frac{a(\sqrt3+1)}{\sqrt2}$ olur.

Diğer taraftan $APR$ üçgeninde sinüs teoreminden  $\frac{a}{sin\theta}=\frac{\frac{a(\sqrt3+1)}{\sqrt2}}{sin105}.....................................(*)$ yazılabilir. Öte yandan;

$sin105=sin60.cos45+sin45.cos60=\frac{\sqrt3.\sqrt2+\sqrt2.1}{4}=\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}...........(**)$ olur. $(**)$ eşitliği (*) de kullanılırsa,

$\frac{1}{sin\theta}=\frac{\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}}{\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}}\longrightarrow sin\theta =\frac{1}{2}$  den $\theta =30$ ve $cot\theta=\sqrt3$ bulunur.

Comments

Teşekkürler ::)

Answer 2

Daha kısa bir yol gördüm. Onu da paylaşmak istedim. Şöyle:

$ASR$ üçgeni eşkenar olup karenin bir kenarı üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.  Yani  $|AS|=|SP|$ ve $m(ASP)=150^0$ olduğundan $m(SAP)=15^0,m(SAR)=45^0$dir. $ APR$ üçgeninde $m(ARP)=105^0$ olduğundan $m(APR)=30^0$ olur. $cot30=\sqrt3$ olur.