Düzgün Süreklilik-IV

Question

$$f(x)=x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu düzgün sürekli midir? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Fonksiyonun türevinin sınırlı olduğu durumlarda düzgün süreklilik kolaylıkla gösterilebilir.

Yukarıda verilen $f$ fonksiyonu için

$$f'(x)=3x^2sin(\frac{1}{x^2})-2cos(\frac{1}{x^2})$$ ve $x\in(0,1]$ için $$-5\leq f'(x)\leq 5$$ olduğundan ortalama değer teoremi yardımıyla   $$c\in(x,y) \ ve \ x,y\in(0,1]$$ için $$|f(x)-f(y)| \leq |f'(c)| |x-y| \leq 5|x-y| \leq 5\delta<\epsilon$$ yazılabilir. Dolayısıyla her $\epsilon >0$ için $\delta <\frac{\epsilon}{5}$ alınırsa $$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| \leq \epsilon$$ yazılabildiğinden fonksiyon düzgün süreklidir.