Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
349 kez görüntülendi

$$f(x)=x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu düzgün sürekli midir? Cevabınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 349 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Fonksiyonun türevinin sınırlı olduğu durumlarda düzgün süreklilik kolaylıkla gösterilebilir.

Yukarıda verilen $f$ fonksiyonu için $$f'(x)=3x^2sin(\frac{1}{x^2})-2cos(\frac{1}{x^2})$$ ve $x\in(0,1]$ için $$-5\leq f'(x)\leq 5 $$ olduğundan ortalama değer teoremi yardımıyla  $$c\in(x,y) \ ve \ x,y\in(0,1]$$ için $$ |f(x)-f(y)| \leq |f'(c)| |x-y| \leq 5|x-y| \leq 5\delta<\epsilon  $$ yazılabilir. Dolayısıyla her $\epsilon >0 $ için $\delta <\frac{\epsilon}{5}$ alınırsa $$|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| \leq \epsilon$$ yazılabildiğinden fonksiyon düzgün süreklidir.

(25 puan) tarafından 
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,807 kullanıcı