Fonksiyonun türevinin sınırlı olduğu durumlarda düzgün süreklilik kolaylıkla gösterilebilir.
Yukarıda verilen f fonksiyonu için f′(x)=3x2sin(1x2)−2cos(1x2)
ve
x∈(0,1] için
−5≤f′(x)≤5
olduğundan ortalama değer teoremi yardımıyla
c∈(x,y) ve x,y∈(0,1]
için
|f(x)−f(y)|≤|f′(c)||x−y|≤5|x−y|≤5δ<ϵ
yazılabilir. Dolayısıyla her
ϵ>0 için
δ<ϵ5 alınırsa
|x−y|<δ⇒|f(x)−f(y)|≤ϵ
yazılabildiğinden fonksiyon düzgün süreklidir.