Question

Boş küme sınırlı mıdır neden

Answer 1

Sınırsız olması için, boş kümenin öncelikle (en az) bir tane elemanı olmalı. Bu ise boş kümenin tanımıyla çelişir. Dolayısıyla boş küme sınırsızdır.

Comments

<p>
    Teşekkür ederim 
</p>

Answer 2

Metrik uzaylarda ele alırsan sınırsızdır. Posetlerde ele alırsan sınırlı olur. Neden?

Comments

Metrik uzaylarda neden sınırsız olsun ki? Boş kümeyi boş olmayan metrik bir uzayın alt uzayı olarak görürsek sınırlıdır çünkü boş kümenin her elemanı metrik uzaydaki bir elemanın, diyelim ki, r=1 yarıçaplı topu içerisinde kalır.

---

Çapı sonlu olan kümelere sınırlı küme aksi taktirde sınırsız küme diyoruz. Boş kümenin çapı 

$$d(\emptyset)=sup \{ d(x,y) \mid x,y\in \emptyset \}=sup \emptyset =min \emptyset ^ü=min \mathbb{R}^*=-\infty$$ olduğundan sınırsız bir kümedir. ($\emptyset ^ü: \text{Boş kümenin üst sınırları}$)

Posetlerde ise durum şöyle: Hem alt sınırı hem de üst sınırı olan kümelere sınırlı küme diyoruz. Boş kümenin alt sınırlarının oluşturduğu küme çalışılan evren olduğundan boş küme alttan sınırlıdır. Benzer şekilde boş kümenin üst sınırlarının oluşturduğu küme de çalışılan evren olduğundan boş küme üstten de sınırlıdır. Hem alttan hem de üstten sınırlı olduğu için boş küme sınırlıdır. 

---

Çapı "sonlu" olan kümelere mi sınırlı diyoruz yoksa çapı $\mathbb{R}$'de sınırlı olan kümelere mi? Bu sınırlının tanımını nasıl yaptığınıza bağlı.

Sınırlıyı çapı sınırlı olan küme olarak tanımlarsanız boş küme sınırlıdır. Öyle bir $r >0$ vardir ki boş kümenin herhangi iki elemanı arasındaki uzaklık $r$'den küçüktür, yani $d(\emptyset) \leq r$. Mesela $r=1$ alabilirsiniz.

Bir de şu tanım var: Boş olmayan bir metrik uzayda bir $A$ alt kümesine sınırlı denir ancak ve ancak öyle bir $x \in X$ ve $r > 0$ varsa ki $A \subseteq B(x,r)$ ise. Bu tanım altında da boş küme boş olmayan bir metrik uzay içerisinde sınırlı bir alt uzaydır.

---

$(X,d)$ metrik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere

$$A, \text{sınırlı}:\Leftrightarrow -\infty <d(A)<\infty$$

$$A, \text{sınırsız}:\Leftrightarrow A, \text{sınırlı değil}:\Leftrightarrow  (d(A)=-\infty \vee d(A)=\infty)$$

şeklinde tanımlıyoruz.

---

Peki, mesela, Heine-Borel teoremini ifade ederken $A \subseteq \mathbb{R}$ kümesi kompakttır ancak ve ancak $A$ kapalı ve sınırlı ise demiyor musunuz? Biz bütün dünya bu teoremi yanlış mı ifade ediyoruz? Şimdi boş küme kompakt değildir falan derseniz kalpten gideceğim.

Bu arada bana sınırlılığın tanımını tam olarak dediğiniz gibi yapan bir kitap gösterebilir misiniz? Ya da Heine-Borel teoremini ifade ederken özellikle boş kümeyi dışlayan bir kitap? Boş kümenin sınırsız olduğunu ilk defa sizden duyuyorum. Ayrıca bir metriğin değerleri üzerinde supremum alıyorsunuz zaten, neden negatif sayılarla ilgileniyorsunuz anlamadım.

---

Metrik $\geq 0$ ile baslamiyor mu? $d(A)=-1$ olan bir $A$ var mi ya da.

---

Metrikler non-negative olmak zorundadır. Dolayısıyla öyle bir $A$ olamaz. Boş küme sınırlılığın ders kitaplarında bulabildiğiniz her tanımına göre de sınırlıdır. Mesela sayfa 129: https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_4.pdf

---

Bos kumenin sinirsiz oldugunu soylediginizde sinirli bir kumenin sinirsiz bir alt kumesi olabilecegini de soylemis oluyorsunuz.

---

Sınırlı küme, sınırı olan küme demek. Bir çapın sınır belirtmemesi için o sınırın dışına çıkan eleman olması demek. Sınırı olmaması da, hangi sınırı alırsak alalım (yani çapı ne alırsak alallım) o sınırın dışına çıkan eleman olması demek. Kısaca, boş küme sınırlıdır.

---

George F. Simmons tarafından yazılan "Introduction to Topology and Modern Analysis" adlı kitabın 58. sayfasında sınırlı küme tanımı yukarıda ifade ettiğim gibi veriliyor.  

---

Teşekkürler. Şimdi dediğiniz kitaba bakıyorum, öyle diyor. Bu durumda kendisinin kitapta kullandığı terminolojisinin standartlarla örtüşmediğini söyleyebiliriz. Mesela sayfa 125'de diyor ki bir tam uzayın kapalı bir alt uzayı kompakttır ancak ve ancak tamamen sınırlı (totally bounded) ise. Boş küme sınırlı değilse, tamamen sınırlı da değildir. O zaman söylediği denklik gereği boş kümenin kompakt olmadığını söylüyor. Ya da belki tamamen sınırlılığın sınırlılığı gerektirdiğini söylemiyordur (ya da boş kümeyi bu durumdan hariç tutuyordur).

Neden böyle bir tanım yaptığından ya da terminoloji kullandığından emin değilim ancak boş kümenin çapını eksi sonsuz olarak tanımlayıp sınırsız (unbounded) bir küme olarak tanımlıyorsa bildiğimiz pek çok standart teoremin ifadesinin yanına "boş küme hariç" diye eklemesi gerekir.

Ne yalan söyleyim, ilk defa bir yazarın boş kümenin supremumu olmadığı için çapını eksi sonsuz ilan ettiğine ve boş kümeyi sınırsız (unbounded) bir küme olarak gördüğüne denk geliyorum.

---

$d(\emptyset)=-1$ dese ya da $0$. Bir sey degisir mi? Bu durumda sinirsiz da denmez, $0$ durumunda $\geq 0$ da saglanir.

---

Ben hayatımda böyle bir tanımı ilk kez görüyorum. Kitabı indirdim ve gözlerim faltaşı gibi açıldı. Bir kere, wikipedia'daki yaygın tanım kitapta verilenle tanım uyumlu değil. Wikipedia bir kaynak sayılmayacağı için gerçek bir kaynak göstermek lazım:

Walter Rudin, Principals of  Mathematical Analysis 1976.

$E\subseteq X$ olsun. $E$'nin sınırlı olma şartı şu: $$d(p,q)\leq M,\forall p\in E$$ şartını sağlayan bir $M\in\mathbb{R}_{\geq 0}$ ve $q\in X$ vardır.

Bu tanıma göre de boş küme sınırlı.

Kaldı ki, sınır tanımını kümeye içkin biçimde vermek felsefi olarak yanlış. Sınır, dışarıyla olan ilişkidir. Sınırı kümeye içkin biçimde vermenin böyle gariplikler vermesi de bu nedenle şaşırtıcı değil.

---

Sercan, zaten boş kümenin çapının 0 olarak tanımlandığına (yani o supremumun sadece non-negative sayılar üzerinde alındığına) çeşitli kitaplarda rastlayabilirsin. Dediğim gibi yaygın olmayan bir yaklaşım bu ve içerisinde "sınırlı" kelimesi geçen çoğu teoremi ifade ederken dikkat etmek gerekiyor bu durumda. (Yukarıda Heine-Borel teoremini örnek verdim mesela.)

---

Eger kitap boyle tanimlasaydi? Referans verilen kitap icin, o zaman ne olurdu anlaminda. 

---

O zaman boş küme sınırlı olurdu. Mesela şu an önümde Munkres'in "Topology" kitabı var, $A$'nın sınırlı olmasını öyle bir $M >0$ vardır ki $A$'nın herhangi iki elemanı arasındaki uzaklık $M$'den küçüktür olarak tanımlıyor. Daha sonra da bir kümenin çapını elemanların arasındaki uzaklıkların supremumu olarak tanımlarken açık açık kümenin boş olmadığını ekliyor. Yani boş kümenin çapını eksi sonsuz olarak tanımlamak da biraz liberal bir hareket.

---

kahrolsun liberalizm. (beni de kendine benzettin sercan)