Box (Kutu) ve Product (Çarpım) Topolojileri

Question

Kutu(box) ve çarpım(product) topolojileri arasında ne fark var? Bilgi verebilir misiniz?

Answer 1

Ikisi arasindaki tanimsal fark:

$X=\prod X_{\alpha}$ olsun (indis sonsuz). Her $\alpha$ icin $U_{\alpha} \subsetneq X_{\alpha}$ acik kumelerini alalim. Bu durumda $U=\prod U_{\alpha}$ kutu topolojisinde acik iken carpim topolojisinde acik degildir. Cunku carpim topolojisinde sonlu $\alpha$ indisi haric $U_{\alpha} = X_{\alpha}$ olmalidir.

Sureklilik ve tikizlik carpim topolojisinde saglanirken kutu topolojisinde saglanmayabilir. (Kutu topolojisinde daha cok acik kume var!)

Klasik ornekleri: 
Sureklilik icin: $\mathbb R\to \mathbb R^\omega$ olarak $f(x)=(x,x,x,\cdots)$fonksiyonunun surekliligi,
Tikizlik icin: $X_i=\{0,1\}$ ve indis kumesi $\mathbb N$ olmak uzere uzayin tikizligi.

Comments

I indis kümesi sonlu iken kutu ve çarpım topolojileri arasında bir fark olmadığını vurgulayalım.

Answer 2

Tanım: $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{A}_i:=\left\{\pi_i^{-1}[U_{i_{j_i}}]\Big{|}U_{i_{j_i}}\in\tau_i\right\}$ olmak üzere $$\mathcal{A}:=\bigcup\mathcal{A}_i$$ ailesinin doğurduğu topolojiye (boştan farklı) $$X=\prod_{i\in I} X_i$$

kümesi üzerindeki çarpım topolojisi denir.

Tanım: $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{\prod_{i\in I}U_{i_{j_i}}\Big{|}U_{i_{j_i}}\in\tau_i\right\}$$ ailesi,

$$X=\prod_{i\in I} X_i$$ kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır.(Neden?) Bu $$\mathcal{B}$$ ailesinin doğurduğu topolojiye $$X=\prod_{i\in I} X_i$$ kümesi üzerindeki kutu (box) topoloji denir.

Son olarak $$|I|<\aleph_0$$ ise $X$ kümesi üzerindeki çarpım topolojisi ile kutu topolojisi çakışır. Genel olarak kutu topolojisinin açıklarının çarpım topolojisinin açıklarından daha çok yani kutu topolojisinin çarpım topolojisinden daha ince olduğunu görmek zor olmasa gerek.