$e$-$T_1$ Uzayı

Question

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A, \text{ regüler açık}:\Leftrightarrow A=int(cl(A))$$

$$A, \text{ regüler kapalı}:\Leftrightarrow A=cl(int(A))$$

$$RO(X):=\{A|(A, \text{ regüler açık})(A\subseteq X)\}$$

$$RC(X):=\{A|(A, \text{ regüler kapalı})(A\subseteq X)\}$$

$$int_{\delta}(A):=\cup\{U|(U\subseteq A)(U\in RO(X))\}$$

$$cl_{\delta}(A):=\cap\{F|(A\subseteq F)(F\in RC(X))\}$$

$$A, e\text{-açık}:\Leftrightarrow A\subseteq int(cl_{\delta}(A))\cup cl(int_{\delta}(A))$$

$$A, e\text{-kapalı}:\Leftrightarrow A\supseteq int(cl_{\delta}(A))\cap cl(int_{\delta}(A))$$

$$eO(X):=\{A|(A, e\text{-açık})(A\subseteq X)\}$$

$$eC(X):=\{A|(A, e\text{-kapalı})(A\subseteq X)\}$$

$$(X,\tau), e\text{-}T_1\text{ uzayı}:\Leftrightarrow (\forall x\in X)(\{x\}\in eC(X))$$

Soru-1: Bu tanımlar ışığı altında $e$-$T_1$ uzayı olmayan sonlu bir topolojik uzay var mıdır?

Comments

$X=\{x\}$. Buna uymuyor mu?

---

O zaman uzay diskret olur. Diskret uzayda da bütün altkümeler kapalıdır dolayısıyla $e$-kapalıdır. O zama uzay $e$-$T_1$ uzayı olur. Biz $e$-$T_1$ uzayı olmasın istiyoruz.

---

olmayani olan anlamisim, pardon.

---

Doğru anlamışsınız. $e$-$T_1$ uzayı olmayan bir topolojik uzay örneği arıyoruz.

---

Benim anladigim: $e-T_1$ uzayi olan sonlu bir topolojik uzay var midir? idi.. O kadar tanimi okuduktan sonra kafa biraz gidiyor :)

---

Bu tanimin sozlerle anlatimi yok mu?

---

Var ama ben tanımları formel olarak vermeyi tercih ettim. Böylelikle tanımlar, matematikçeyi (!) bilen herkes tarafından aynı şekilde anlaşılacaktır. Dolayısıyla yanlış anlaşılmalara mahal verilmemiş olacaktır.