Question

A = { 1.2.3.4.5.6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki tane çift sayı bulunur ?

Answer 1

$Ç=\{2,4,6\}$  ve $T=\{1,3,5\}$ olsunlar. 

1)Yalnız iki çift eleman bulunduran altküme sayısı:$C(3,2)C(3,0)=3$ 

2)İki çift, bir tek elemanlı alt küme sayısı:$C(3,2).C(3,1)=9$

3)iki çift, iki tek elemanlı alt küme sayısı:$C(3,2).C(3,2)=9$

4)iki çift, üç tek elemanlı alt küme sayısı:$C(3,2).C(3,3)=3$

5)Yalnız üç çift eleman bulunduran alt küme sayısı:$C(3,3)C(3,0)=1$

6)Üç çift, bir tek elemanlı alt küme sayısı:$C(3,3).C(3,1)=3$

7)Üç çift, iki tek elemanlı alt küme sayısı:$C(3,3).C(3,2)=3$

8)Üç çift, üç tek elemanlı alt küme sayısı:$C(3,3).C(3,3)=1$

Toplam :$32$ alt kümesi vardır.

Answer 2

C(3,3) . 2^3 = 8 (üç çift sayı içeren alt küme sayısı) C(3,2) . 2^3 = 24 (iki çift sayı içeren alt küme sayısı) 8 + 24 = 32

Answer 3

Buna bir de soyle yaklasilabilir. $S$ bir alt kumesi olsun. Bu durumda $S$ ya da $A\setminus S$ en az iki tane cift icerir ve sadece bir tanesi icerir. Bu da bize istenenin toplam alt kume sayisinin yarisi olmasi gerektigini verir: $$\frac{2^6}{2}=2^5=32.$$


Bunu $n\ge 1$ tam sayilari icin $$\{1,2,3,4,\cdots,4n+2\}$$ olarak genellestirebliriz. En az $n+1$ tane cift sayi iceren alt kumelerinin sayisi $$\frac{2^{4n+2}}{2}=2^{4n+1}$$ olur ve bu deger $n=1$ icin $2^5=32$ olur. 

Peki $$\{1,2,\cdots,n\}$$ gibi bir kume icin yarisindan minnak fazla bir sayi verildiginde nasil bulabiliriz? Bunu da deneyebilir okuyucular...