Cebirsel sayılar kümesi sayılabilirdir.

Question

Bir sayı, katsayıları rasyonel sayı olan sıfırdan farklı bir polinomun köküyse cebirsel sayı (algebraic number) ismini alır.

Answer 1

Her $\alpha$ cebirsel sayısı için o cebirsel sayıyı kökü olarak kabul eden rasyonel katsayılı bir $p_{\alpha}(x)$ polinomu seçelim. $\mathbb{C}$ kümesi üzerinde (herhangi) bir $<$ doğrusal sıralaması tanımladıktan sonra, $\alpha \mapsto (p_{\alpha}(x),n)$ fonksiyonunu tanımlayalım öyle ki $\alpha$ sayısı $p_{\alpha}(x)$ polinomunun kökleri arasında $<$ sıralamasına göre $n$. kök olsun.

Bu fonksiyon cebirsel sayılardan $\mathbb{Q}[x] \times \mathbb{N}$ kümesine birebir bir fonksiyondur. Dolayısıyla, $\mathbb{Q}[x] \times \mathbb{N}$ sayılabilir olduğu için cebirsel sayılar da sayılabilirdir.

Answer 2

Bir sayiya hesaplanabilir diyelim eger bir algoritma sayinin ilk $n$ basamagini uretiyorsa.
Hesaplanabilir sayilar kumesi sayilabilirdir cunku algoritmalar kumesi sayilabilirdir.
Her cebirsel sayi hesaplanabilirdir cunku her polinomun kokune istegimiz hassaslikta yakinlasmamizi saglayan algoritmalar mevcut.
Yani cebirsel sayilar kumesi sayilabilirdir

Comments

"Her gerçel sayi hesaplanabilirdir cunku her gerçel sayıya istegimiz hassaslikta yakinlasmamizi saglayan algoritmalar mevcut." diyerek gerçel sayıları da sayabilir miyiz?

---

Polinom kokune istedigimiz hassaslikta yakinsamak icin bkz: Newton algoritmasi
Yakinsayamacaginiz bir reel sayi ornegi (aslinda bir suru programlari nasil saydiginiza bagli ) :
Butun programlarin kumesini alin, Sifirdan sonraki $n$ basamagi $\text{($n$ inci program duruyorsa $1$ durmuyorsa $0$)}$