Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
493 kez görüntülendi
$n$'inci asalı $p_n$ ile gösterelim. Her $s>1$ için

$$

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-p_n^{-s}}

$$

eşitlinin doğru olduğunu ispatlayın. Bunun tamsayaların tek türlü asal çarpanlarına ayrılmasıyla olan ilişkisi nedir?
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 493 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$\frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^2s} + \frac{1}{p^3s} + \cdots $.

 

Bu esitligi gozonunde bulunduralim ve sonsuz carpimi formel olarak yapalim. Her carpandan bir adet eleman alacagiz ve carpacagiz. Sonlu tane carpan haricinde geri kalanlardan 1'i alalim. Boyle olusturacagimiz her bir terim bir $n$ tamsayisi icin $\frac{1}{n^s}$ biciminde olacaktir.

Boylece sonuc

$\sum_{n=1}\frac{a_n}{n^s}$

olur. Burada $a_n$, $n$ sayisinin kac bicimde asallarin kuvvetlerinin carpimi olarak yazilabileceginin sayisi. Asal carpanlara ayirma tek oldugundan her $n$ icin $a_n = 1$.
(258 puan) tarafından 
20,282 soru
21,820 cevap
73,505 yorum
2,541,169 kullanıcı