Kısmi diferansiyel denklem; $ u_{t}+xtu_{x}=0 $ ,başlangıç koşulu; u(x,0)=F(x)

Question

$ u=u(x,t) $

karekteristikler yöntemini (method of characteristics) kullandım.ama hıza x ve t değişkenlerini verdim(bilmiyorum ne kadar doğru böyle bir yaklaşım, sezgisel olarak bir sonuca çıkar gibi geldi)

$a=x-c(x,t).t$

$b=t$  ,

$u(x,t)=K(a,b)$.

$ u(x,y)=F(x(1+t+t^2)) $ sonucuna vardım ama tutarlı bir sonuç çıkmadı yerine koyduğum zaman denklemde, işlem hatası yapmış olabilirim. baya yeniyim bu denklemlere tam emin olamadım. sorularım;

yaptığım dönüşümler doğru mu? nerede sıkıntı var doğru değilse?

Answer 1

$\dfrac {d} {dt}\left( u\left( x\left( t\right) ,t\right) \right) =u_{x}\cdot \dfrac {dx} {dt}+u_{t}=\dfrac {du} {dt}$

$xt=\dfrac {dx} {dt}$

$\dfrac {du} {dt}=0$ $\Rightarrow $ $ u(x,t)=f(x_0)$

$\int tdt=\int \dfrac {dx} {x}$ 

$\dfrac {t^{2}} {2}=\ln x+x_0$

$u(x,t)=f(\dfrac {t^{2}} {2}-\ln x)$

bir hata yapmadıysam şimdi benim ilk yaptığım yanlış.