Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
609 kez görüntülendi

1) $\mathbb{C}$ cisminin öyle bir öz (proper) alt cismi var mıdır ki, bu alt cisim $\mathbb{C}$ ile eşyapılı (isomorphic) olsun?

2) $\mathbb{R}$ cisminin öyle bir öz alt cismi var mıdır ki, bu alt cisim $\mathbb{R}$ ile eşyapılı olsun?


Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 609 kez görüntülendi

En azından ilk adımda şunu söyleyebilirim. Bu iki soru birbirine denk.

Bi an birin ikiyi gerektirdiği konusunda kuşkuya düştüm.

Kuşkuya düşmek normal çünkü zaten gerektirmemesi lazım :)

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Birinci soru için belirli bir karakteristikteki cebirsel kapalı cisimlerin teorisinin sayılamaz kategorik olmasını kullanabiliriz. Soruya uygulayacağımız özel durum için teoremi tekrar yazalım: Karakteristiği 0 olan ve kardinalitesi $2^{\aleph_0}$ olan cebirsel kapalı cisimler birbiriyle eşyapısaldır.

Yani $\mathbb{C}$'nin cebirsel kapalı ve aynı kardinalitede bir altcismini bulmamız yeterli. $S$ kümesi $\mathbb{Q}$ üzerinde $\mathbb{C}$ için bir "transcendence basis" olsun. $S$'den bir $\gamma$ elemanı seçelim ve $S'=S-\{\gamma\}$ olsun. $\mathbb{Q}(S')$'nin cebirsel kapanışına $K$ diyelim. $K$ cismi $\mathbb{C}$ olamaz çünkü bu durumda $S$ kümesi $\mathbb{Q}$ üzerinde cebirsel bağımlı olurdu. Öte yandan $K$ cismi $\mathbb{C}$ ile aynı kardinalitede ve cebirsel kapalı olduğu için $\mathbb{C}$'ye eşyapısaldır.

İkinci soru için de gerçel sayılardan gerçel sayılara her benzer yapı dönüşümünün (homomorphism) rasyonel sayıları koruduğunu ve birim dönüşüm olmak zorunda kaldığını gösterebilirsiniz. Yani böyle bir öz alt cisim olamaz.

(1.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,078,138 kullanıcı