Question

$y^2$ =2x+6 eğrisinin orijine en yakın noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 2x+y=5

B) 2y-x=5

C) y=3x

D) x=y-1

E) y=-x

Comments

Soru aynen böyle mi? $y$ adıyla verilen eğri, eğriden ziyade doğru. Doğruya teğet bi tek kendisi vardır.

---

Sanırım $y=2x^2+6$ eşitliği "eğri" olmalı.

---

y^2 olacak düzenlemeyi unutmusum

---

Orijne en yakın noktayı bulmak için $x^2+y^2=x^2+2x+6$ yı minimum yapıp daha sonra oradaki teğetin denklemini kolayca bulabilirsin.

---

Tamamdır hocam çok sağolun

---

Her noktadan gecen teget dogrusu $x$ eksenini $x=-3$ noktasindan kucuk bi yerde keser. Bu duruma sadece $B$ secenegi uyuyor. 

---

Evet cevap B secenegi ama tam anlayamadım

---

Eger grafigini cizersen (daha rahat gorursun) $x$ eksenini $-3$ noktasinda keser. Herhangi bir teget aldiginda bu teget $x$ eksenini $-3$ noktasndan daha kucuk (esit) bir yerde keser. 

Tabi ben burda denklemin $B$'deki oldugunu bulmuyorum. Sadece istege uyacak secenegin $B$ oldugunu soyluyorum. 

---

Anladim simdi tesekkürler

Answer 1

Bu eğrinin üzerindeki noktalar $(x,\pm\sqrt{2x+6}) $ şeklinde olup Orijine en yakın olan noktalar $A(x,\sqrt{2x+6})$ ve $A'(x,-\sqrt{2x+6})$  olsun. O zaman $|AO|=\sqrt{x^2+2x+6}$ nın türevini sıfırlayan $x$ değerini bulmalıyız. $\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+6}}=0\longrightarrow x=-1$ bulunur. $A(-1,2), A'(-1,-2)$ olur ve Bu noktadan geçen teğet denklemi ise:

$2y.y'=2\longrightarrow y'=\frac{1}{\pm\sqrt{2x+6}}=\frac{1}{\pm2}$ olacaktır.

$A(-1,2)$ den geçen teğet denklemi $y-2=\frac{1}{2}(x+1)$ den $2y-x=5$ ya da 

$A'(-1,-2)$' den geçen teğet denklemi: $y-2=\frac{1}{-2}(x+1)$ den $x+2y=3$ olacaktır.