Question

$\int \frac{x \ln x}{\sqrt{x^2-1}} dx$

Answer 1

Kısmi integrasyonda $u=\ln x$ ve $dv=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}dx$ konulursa $v=\sqrt{x^{2}-1}$ olur ve

$$\int\frac{x\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=\sqrt{x^{2}-1}\ln x-\int\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}dx$$ olur. Bundan sonra $$\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}=\sqrt{1-(\frac{1}{x})^{2}}$$ olduğu gözönüne alınırsa $v=\frac{1}{x}$ değişken değiştirmesi ile $$\int\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}dx=\int\frac{-\sqrt{1-v^{2}}}{v^{2}}dv$$ olur. Yine $v=\cos\theta$ değişken değiştirmesi ile $$\int\frac{-\sqrt{1-v^{2}}}{v^{2}}dv=\int\tan^{2}\theta d\theta=\tan\theta-\theta +C$$ olarak bulunur. Bütün bunlar yerine konulduğunda

$$\int\frac{x\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=\sqrt{x^{2}-1}\ln x-\sqrt{x^{2}-1}+\arccos(\frac{1}{x})+C$$ olarak bulunur.