Polinom sorusu

Question

$n$ pozitif bir tamsayı ve $P(x)$ $n$'inci dereceden bir polinom olsun.

$P(1)=\frac{1}{1}$, $P(2)=\frac{1}{2}$, $P(3)=\frac{1}{3}$, $\cdots$ $P(n+1)=\frac{1}{n+1}$ ise

$P(n+2)$'yi bulunuz.

Comments

cevap $1/(n+2)$ değil sanırım?

---

Eğer  $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\dots(x-(n+1))+\frac{1}{x}$ olarak alırsak verilen eşitlikler sağlanıyor fakat bu sefer de P(x) polinom olmuyor.

---

Lagrange polinomu.

---

Siz soruyu çözdünüz mü?

---

Dün cevabı yazıyordum ama dizi izledim. Sonra uyudum. Eksik kalmıştı. Klasik bir Lagrange polinomu sorusu.

---

Akşam eve gidince çözümünü paylaşırım.

Answer 1

Soru: $P(x)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac1i\prod\limits_{j=1(j \ne i)}^{n+1}\frac{x-j}{i-j}$ ise $P(n+2)$ kactir?

Comments

Cevap $p(n+2)=\frac{(-1)^n+1}{n+2}$'dir.

$n$ tek $\Rightarrow p(n+2)=0$

$n$ çift $\Rightarrow p(n+2)=\frac{2}{n+2}$

Answer 2

Polinomun yukarıdaki tanımından

$p(k)=\frac{1}{k}, k \in Z, 1 \leq k \leq n+1 \\ kp(k)=1 \\ kp(k)-1=0$

$xp(x)-1$ polinonumun kökleri $1,2,3, \cdots n+1$'dir.

$p(x)$'in derecesi $n$ olduğuna göre

$xp(x)-1$ polinomunun derecesi $n+1$'dir.

$xp(x)-1$ polinomunun en fazla $n+1$ kökü vardır.

$xp(x)-1=k(x-1)(x-2) \cdots (x-n-1) \\ x=0 \Rightarrow -1=k(-1)(-2)\cdots(-n-1) \Rightarrow -1=k\prod_{i=1}^{n+1} i \left ( -1 \right )^{n+1} \\ k=\frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i} \\ \rightarrow xp(x)-1=\frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i}(x-1)(x-2) \cdots (x-n-1) \\ p(x)=\frac{1}{x}\left ( \frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i}(x-1)(x-2) \cdots (x-n-1)+1 \right ) \\ p(n+2)=\frac{1}{n+2}\left ( \frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=1}^{n+1} i}(\prod_{j=1}^{n+1}(n+2-j))+1 \right )=\frac{(-1)^n+1}{n+2}$

$n$ tek $\Rightarrow 0$

$n$ çift $\Rightarrow \frac{2}{n+2}$

Comments

Çok güzel bir çözüm. Teşekkürler. Sorunun kaynağı neresiydi acaba?