Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

$\int\sin x \  e^{2x}\,dx$ integralinin çözümü nasıl bulunur? Teşekkür ederim

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.5k kez görüntülendi

Üstüste iki tane parça integral yöntemi (integration by parts) uygulanırsa, udv yöntemi, gelir. Tabletten yazdıgım çok detaylı yazamıyorum ama kolay.

Birisi bana yorumumun neden gizlendiğini söyleyebilirmi? ne söylemiş olabilirimki hoşunuza gitmedi :)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\int \sin (ax) \ e^{bx} \ dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(b\sin(ax)-a\cos(ax))+c$ kullanılarak $\frac{e^{2x}}{2^2+1}(2\sin x-\cos x)+c$ dir

(1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx$ için Kısmi integrasyon kullanalım. $u=\sin x,\ dv=e^{2x}\,dx$ olsun.  $du=\cos x\,dx,\ v=\frac12e^{2x}$ olur.

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\sin x-\frac12\int \cos x e^{2x}\, dx$ olur. Benzer şekilde  

($u=\cos x,\ dv=e^{2x}\,dx$ alarak)

$\int \cos x e^{2x}\, dx=\frac12\cos x e^{2x}-\frac12\int\sin xe^{2x}\,dx$ olur. Bu eşitlik, yukarıda yazılırsa:

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\sin x-\frac12(\frac12\cos x e^{2x}-\frac12\int\sin xe^{2x}\,dx)$ elde edilir.

$\frac54\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\sin x-\frac14\cos x e^{2x}$ den

$\int \sin x\ e^{2x}\,dx=\frac45(\frac12\sin xe^{2x}-\frac14\cos x e^{2x})$ bulunur.

Soru: Her belirsiz integralde olması gereken $+C$ niye yok?

(aslında her iki defasında da $u=e^{2x}$ seçilirse yine yapılabilir, ayrıca $\frac12$ lerle uğraşmak gerekmez)

(6.2k puan) tarafından 
20,282 soru
21,819 cevap
73,497 yorum
2,512,185 kullanıcı