Normal operatorlerin bazi ozellikleri

Question

Gerekli tanimlar ve onlardan dogrudan cikan bazi sonuclar icin buraya bakarlar.

$\tau$ normal bir operator olsun.

1- Her $v,w\in V$ icin   $$<\tau(v),\tau(w)>=<\tau^*(v),\tau^*(w)>$$ esitligini $<\tau^*\tau(v),w>$ ve $<\tau\tau^*(v),w>$ ic carpimlarini inceleyerek ve $\tau$ ile $\tau^*$ operatorlerinin degismeli olduklarini kullanarak ispatlayin.

2- Birinci kisimdan $$||\tau(v)||=||\tau^*(v)||$$ esitligini de elde edin.

3- Ikinci kisimdan $$\ker(\tau^*)=\ker (\tau)$$ esitligini elde edin. (Ipucu: Ikinci kisim diyor ki, birine gore goruntunun normu sifirsa digerine gore goruntunun de normu sifirdir.)

4- $\tau$ normal olsa da olmasa da $\tau^*\tau$ operatorunun esleginin kendisi oldugunu gosterin ve dogal olarak $\sigma=\tau^*\tau$ operatorunun normal oldugunu gosterin.

5- $\sigma$ eslegi kendisi olan bir operator olsun. Bu durumda her $k>0$ tamsayisi icin $$\ker(\sigma^k)=\ker(\sigma)$$ esitliginin dogru oldugunu gosterin. Bunun icin $\sigma^k(v)=0$ olmasinin her $w\in V$ icin  $$<\sigma^{k-1}(v),\sigma(w)>=<\sigma^k(v),w>=0$$ sonucunu dogru olmasini zorlamasini kullanin. Bu zorlama eger $\sigma(w)$ her $w$ icin sifir degilse (baska bir deyisle $\sigma=0$ degilse, yani iddianin asikar oldugu durum degilse) $\sigma^{k-1}(v)$'nin sifir olmasini gormenizi saglamali.

6- $\tau$ normal bir operatorse $$\ker(\tau^k)=\ker(\tau)$$ esitliginin saglandigini gosterin. ipucu: $\tau^k(v)=0$ esitligini saglayan $v$ icin $\tau$ ile $\tau^*$'nin degismeli olmasini kullanarak $\sigma^k(v)=0$ oldugunu gosterin. Besinci soruyu kullanarak da $\sigma(v)=0$ oldugunu gosterin. Buradan da $$0=<\sigma(v),v>=<\tau^*\tau(v),v>$$ esitligini kullanarak $\tau(v)=0$ esitligini elde edin.

Comments

6) yı anlamadım. $\sigma$ ve $\tau$ arasındaki ilişki nedir? $\sigma=\tau^{\star}\tau$ mu alacağız?

---

Evet, onu alarak gosterilcek. Altinci soru besinci sorunun genel hali. 

Answer 1

Her $v,w\in V$ için;

1) $<\tau v,\tau w>=<v,\tau^{\star}(\tau w)>=\overline{<\tau^{\star}(\tau w),v>}=\overline{<(\tau^{\star}\tau)w,v}>$ ve
$\tau^{\star}\tau=\tau\tau^{\star}$ olduğundan $\overline{<(\tau\tau^{\star})w,v>}=\overline{<\tau(\tau^{\star}w),v>}=\overline{<\tau^{\star}w,\tau^{\star}v>}= <\tau^{\star}v,\tau^{\star}w>$ elde edilir.

2) $\|\tau v\|^2=<\tau v,\tau v>$ ve $(1)$ den $<\tau^{\star}v,\tau^{\star}v>=\|\tau^{\star}v\|^2$.

3) $\tau^{\star}v=0\Longleftrightarrow\|\tau^{\star}v\|=0$ ve $(2)$ den $\|\tau v\|=0\Longleftrightarrow\tau v=0$.

4) $(\tau^{\star}\tau)^{\star}=\tau^{\star}(\tau^{\star})^{\star}=\tau^{\star}\tau$ (Her zaman var, yani $\tau$ normal olmasa da).
$\sigma=\tau^{\star}\tau$ ise $\sigma^{\star}=\sigma$ olduğundan $\sigma \sigma^{\star}=\sigma^{\star}\sigma=\sigma^{2}$ yani $\sigma$ normaldir.

5) $\sigma=\sigma^{\star}$ olsun. Bu durumda $\forall v,w\in V$ için $<\sigma v,w>=<v,\sigma w>$ eşitliği vardır.
İspatı tümevarımla yapalım. $k=2$ için $\sigma^{2}v=0$ olsun. $\sigma (\sigma v)=0$ ve her $w\in V$ için $<\sigma(\sigma v),w>=<0,w>=<\sigma v,\sigma w>=0$ bulunur. Özel olarak $w=v$ alındığında $<\sigma v,\sigma v>=0$ ve $\sigma \neq 0$ ise $\sigma v=0$ yani $v\in Ker (\sigma)$ elde edilir. Diğer taraf yani $Ker (\sigma)^{2}\subseteq Ker (\sigma)$ her zaman vardır.

$k=n$ için ifade doğru olsun. Yani; $Ker (\sigma^{n})=Ker (\sigma)$ sağlansın. $k=n+1$ için ifade doğru mudur?
$\sigma^{n+1}v=0$ olsun. Yani; $\sigma(\sigma^{n}v)=0$. Buradan her $w\in V$ için $0=<\sigma(\sigma^{n}v),\sigma^{n-1}w>=<\sigma^{n}v,\sigma^{n}w>=0$.
Özel olarak $w=v\in V$ için $<\sigma^{n}v,\sigma^{n}v>=0$ yani $\sigma^{n}v=0$ ve $\sigma \neq 0$ olduğundan $v\in Ker (\sigma^{n})=Ker (\sigma)$ ($k=n$ için doğru kabul etmiştik) ve $v\in Ker (\sigma)$ yani; $Ker (\sigma^{n+1})\subseteq Ker (\sigma)$ elde edilir. Yine $Ker (\sigma)\subseteq Ker (\sigma^{n+1})$ olduğundan $k=n+1$ için ifadenin doğruluğu elde edilmiş olur.

Comments

$\tau^k(v)=0$ olsun ve $\sigma:=\tau^*\tau$ olsun. Bu durumda $$\sigma^k(v):=(\tau^*\tau)^k(v)=(\tau^*)^k(\tau^k)(v)=0$$ olur. Sondan bir onceki esitlik icin $\tau$'nun normal olmasini, yani eslegiyle degismeli oldugunu kullandik. Besinci soruyu kullanarak $\sigma(v)=0$ bulunur. Buradan da $$0=<\sigma(v),v>=<\tau^*\tau(v),v>=<\tau(v),\tau(v)>=||\tau(v)||^2$$ sonucu cikar ki, bu da $\tau(v)=0$ demektir.

---

Yazıvermişsin hemen cevabı.