Eslek ve normal operatorlerin birkac ozelligi

Question

$(V<\cdot,\cdot>)$ sonlu boyutlu bir ic-carpim uzayi $\tau$ de $End(V)$'nin bir elemani olsun. Riesz temsil edilme teoremi sunu der. $$<\tau(v),w>=<v,\sigma(w)>\;\forall v,w\in V$$sartini saglayan bir tane $\sigma\in End(V)$ vardir ve bu $\sigma$ biriciktir. Yukaridaki esitligi saglayan $\tau$ ile $\sigma$'ye birbirlerinin eslegi denir ve $\sigma$ yerine $\tau^*$ yazilir.

1- $(\tau^*)^*=\tau$ esitligini kanitlayin.

2- $\alpha$ bir skalar ise $(\alpha \tau)^*=\overline{\alpha}\tau^*$ esitliginin dogru oldugunu gosterin.

3- $(\tau+\sigma)^*=\tau^*+\sigma^*$ oldugunu gosterin.

4- Ikinci ve ucuncu kismi kullanarak her $p(X)\in\mathbb{R}[X]$ icin $$(p(\tau))^*=p(\tau^*)$$ esitliginin saglandigini gosterin.

5- $(\tau\sigma)^*=\sigma^*\tau^*$ esitliginin her $\tau,\sigma\in End(V)$ icin dogru oldugunu gosterin. Burada $f\tau\sigma$ ile kast edilen bileskeleri elbette. 

6- Bir onceki sikki kullanarak tersinir $\tau$ operatoru icin $$(\tau^{-1})^*=(\tau^*)^{-1}$$ esitliginin dogru olacagini gosterin.

7- Bir matrisin tanimladigi lineer fonksiyonun eslegiyle matrisin eslegi arasindaki iliski nedir?

Eger bir $\tau$ operatoru eslegi olan $\tau^*$ operatoruyle degismeliyse $\tau$ operatorune normal denir.

7- Normal bir operator ornegi verin.

8- Eslekle ilgili ilk alti soruyu kullanarak $\tau$ normal bir operatorse 

• $\tau^*$ operatorunun, 
• $\tau$ tersinirse $\tau^{-1}$ operatorunun
• Her $p(X)\in\mathbb{R}[X]$ icin $p(\tau)$ operatorunun

normal oldugunu gosteriniz.

Not: Ikinci kisim birinci kisimdaki sorulardan cok kolay cikiyor. Ilk kisimdaki sorular icin de tekrar tekrar Riesz temsil teoreminin teklik kisminin kullanilmasi gerekiyor. Bir lisans ogrencisi lineer cebir aldiktan sonra bu soruyu 15 dakika icinde yapabilir.

Answer 1

$v, w\in V$ olmak üzere;

1) $<\tau^{\star}v,w>=\overline{<w,\tau^{\star}v>}=\overline{<\tau w,v>}=<v,\tau w>=<v,(\tau^{\star})^\star w>$ ve teklikten $(\tau^{\star})^{\star}=\tau$ olur.

2) $<(\alpha\tau)v,w>=<\alpha\tau v,w>=\alpha<\tau v,w>=\alpha<v,\tau^{\star} w>=<v,\overline{\alpha}\tau^{\star} w>$ ve teklikten $(\alpha\tau)^{\star}=\overline{\alpha}\tau^{\star}$.

3) $<(\tau+\sigma)v,w>=<\tau v+\sigma v, w>=<\tau v,w>+<\sigma v,w>=<v,\tau^{\star}w>+<v,\sigma^{\star}w>= <v,(\tau^{\star}+\sigma^{\star})w>$ ve teklikten $(\tau+\sigma)^{\star}=\tau^{\star}+\sigma^{\star}$.

4) $2,3$ yardımıyla görmek mümkün. $p(x)$ neden $\Bbb{R}[x]$ de alınıyor?

5) $<(\tau\sigma)v,w>=<\tau(\sigma v),w>=<\sigma v,\tau^{\star}w>=<v,\sigma^{\star}(\tau^{\star
}w)>=<v,(\sigma^{\star}\tau^{\star})w>$ ve teklikten $(\tau \sigma)^{\star}=\sigma^{\star}\tau^{\star}$.

6) 5 ten göremiyorum!

7) Tersinir operatörler normaldir. (-Yanlış, yorumu okuyunuz)

8) i) $\tau \tau^{\star}=\tau^{\star}\tau$ ve $(\tau^{\star})^{\star}=\tau$ olduğundan $\tau^{\star}$ normaldir.

ii) $\tau^{\star}(\tau^{-1})^{\star}=(\tau^{-1})^{\star}\tau^{\star}$ olduğundan $\tau^{-1}$ normaldir.

iii) $i, ii$ den görülebilir.

Comments

4- Reel katsayili olmasa $p(\tau)$'nun eslegi alinirken katsayilar karmasik konjugeleriyle degisecekler ve esitli bozulacak. O yuzden reel katsayili olmasi gerekiyor.

6- Birim operatoru $I$ ile gosterelim. Elbette ki $<Iv,w>=<v,Iw>$ esitligini saglayacaktir ve bu yuzden birim operatorun eslegi kendisidir. Bu bilgi ve besi kullanarak sunu elde ederiz: $$<I\cdot v,w>=<\tau^{-1}\tau v,w>=<v,(\tau^{-1}\tau)^*w>=<v,\tau^*(\tau^{-1})^*w>$$Yani $\tau^*(\tau^{-1})^*=I$. O halde $(\tau^*)^{-1}=(\tau^{-1})^*$.

7- Tersinir operatorler neden normaldir. Normal operatorlerin hepsi kosegenlestirilebilir oysa tersinir operatorlerin hepsinin kosegenlestirilemedigini biliyoruz. Yani aslinda onermen dogru degil. Benim aklimdan gecen suydu yedinci sikta: operatorun esleginin matrisi, operatorun matrisinin konjuge transpozudur.

---

Matris iliskisini vermeyi unutmuşum. Aslında "$V$ icin hangi bazı almalıyım? " Sorusuna da takıldığım icin gözümden kaçmış. 

---

Hangi bazi alirsan al, operatorun matrisini ve esleginin matrisini ayni bazda yazarsan matrisler birbirlerinin konjuge devrikleri olacaklardir.

---

Baz seçiminden bağımsız yani. Tamam çok teşekkür ediyorum. 

---

Evet, ikisi icin de ayni baz secildigi surece elbette.

---

$A:\Bbb{C^{2}}\rightarrow \Bbb{C^{2}}$ $A(x,y)=(2x+iy,ix+2y)$ ile tanımlarsak $A$ normal operatör olur.

---

Ne demek istedigini anlamadim.