Operatorun esleginin matrisiyle, operatorun matrisinin eslegi arasindaki iliski

Question

$V$ uzerinde bir iccarpim olan sonlu boyutlu bir vektor uzayi olsun. Bu iccarpimi da $<\cdot,\cdot>$ ile gosterelim.

1- $V$'nin verilmis ic carpima gore orthonormal (birbirlerine dik ve boylari 1) bir bazi oldugunu gosterin.

$e_1,\cdots,e_n$ birinci soru sayesinde varligini bildigimiz orthonormal bazlardan bir tanesi olsun. Bir tane $f\in End(V)$ alalim. Amiyane tabirle $V$'den $V$'ye giden lineer bir operator alalim. Aldigimiz baza gore $f$'nin matrisine $M_f$ ya da daha sade olarak $M$ diyelim. Simdi matrisler icin eslegin ne oldugunu biliyoruz: $$M^*=\overline{M}^T$$ Yani devriginin elemanlarinin eslenikleriniyle degistirilmis matris. Bir de operatorlerin esleklik kavrami var: Her $v,w\in V$ icin $$<f(v),w>=<v,f^*(w)>$$ olursa $f^*$'e $f$'in eslegi diyoruz. Peki bu tanimlar arasinda nasil bir iliski var?

2- En son yazilan iliskinin baz uzerinden okunabilecegini gosterin. Yani, eger $$<f(e_i),e_j>=<e_i,g(e_j)>$$ esitligi her $i,j$ icin saglaniyorsa her $v,w$ icin de saglanir.

3- Ikinci soruyu kullanarak $f^*$ operatorunun $e_1,\cdots,e_n$ bazina gore matrisinin $$M^*=\overline{M}^T$$ oldugunu gosteriniz.